В треугольнике АВС угол C равен 90 градусов, угол В равен 60 градусов, катет АС равен 18 см. Найдите высоту СН, опущенную на гипотенузу АВ. Ответ запишите в сантиметрах.

Ответ: 9\(\sqrt{3}\)

Пошаговое решение:

1. В прямоугольном треугольнике ABC с углом C = 90° и углом B = 60°, угол A равен 90° - 60° = 30°.

   \[\angle A = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ\]

2. Катет AC, лежащий напротив угла B, равен 18 см. Гипотенуза AB равна удвоенному катету AC (против угла 30°). Следовательно, AB = 2 \(\cdot\) AC = 2 \(\cdot\) 18 = 36 см.

   \[AB = 2 \cdot AC = 2 \cdot 18 = 36 \text{ см}\]

3. Площадь треугольника ABC можно найти двумя способами: через катеты и через гипотенузу и высоту, опущенную на неё.

   Площадь через катеты: AC \(\cdot\) BC / 2

   Найдем катет BC, используя тангенс угла A: BC = AC \(\cdot\) tg(A) = 18 / \(\sqrt{3}\) = 6\(\sqrt{3}\) см.

   \[BC = \frac{AC}{\tan A} = \frac{18}{\tan 30^\circ} = \frac{18}{\frac{1}{\sqrt{3}}} = 18\sqrt{3} \text{ см}\]

4. Площадь треугольника ABC равна (18 \(\cdot\) 18\(\sqrt{3}\)) / 2 = 162\(\sqrt{3}\) см².

   \[S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot 18\sqrt{3} = 162\sqrt{3} \text{ см}^2\]

5. Площадь через гипотенузу и высоту: AB \(\cdot\) CH / 2

   Высота CH = (2 \(\cdot\) S) / AB = (2 \(\cdot\) 162\(\sqrt{3}\)) / 36 = 9\(\sqrt{3}\) см.

   \[CH = \frac{2 \cdot S_{ABC}}{AB} = \frac{2 \cdot 162\sqrt{3}}{36} = 9\sqrt{3} \text{ см}\]

Ответ: 9\(\sqrt{3}\)