В треугольнике АВС угол C равен 90°, АС = 5, cos A = 5√41 / 41. Найдите длину стороны ВС.

Пошаговое решение:

• По определению косинуса в прямоугольном треугольнике: \( ext{cos A} = \frac{ ext{прилежащий катет}}{ ext{гипотенуза}} = \frac{AC}{AB} \).
• Нам дано: \( ext{cos A} = \frac{5√{41}}{41} \) и \( AC = 5 \).
• Подставляем известные значения: \( \frac{5√{41}}{41} = \frac{5}{AB} \).
• Решаем уравнение для AB: \( AB = \frac{5 √{41}}{41} imes \frac{41}{5} \).
• Упрощаем: \( AB = \frac{5 √{41} √{41}}{41} = \frac{5 imes 41}{41} = 5 \). (Ошибка в расчетах, повторим)
• Решаем уравнение для AB: \( AB = \frac{5}{\frac{5√{41}}{41}} = 5 imes \frac{41}{5√{41}} = \frac{41}{√{41}} = √{41} \).
• Теперь используем теорему Пифагора: \( AC^2 + BC^2 = AB^2 \).
• Подставляем известные значения: \( 5^2 + BC^2 = (√{41})^2 \).
• \( 25 + BC^2 = 41 \).
• \( BC^2 = 41 - 25 \).
• \( BC^2 = 16 \).
• \( BC = √{16} = 4 \).
• Альтернативный способ: найти синус угла А. \( ext{sin}^2 ext{A} + ext{cos}^2 ext{A} = 1 \).
• \( ext{sin}^2 ext{A} = 1 - \left(\frac{5√{41}}{41}\right)^2 = 1 - \frac{25 imes 41}{41^2} = 1 - \frac{25}{41} = \frac{16}{41} \).
• \( ext{sin A} = √{\frac{16}{41}} = \frac{4}{√{41}} = \frac{4√{41}}{41} \).
• По определению синуса: \( ext{sin A} = \frac{ ext{противолежащий катет}}{ ext{гипотенуза}} = \frac{BC}{AB} \).
• \( rac{4√{41}}{41} = \frac{BC}{√{41}} \).
• \( BC = \frac{4√{41}}{41} imes √{41} = \frac{4 imes 41}{41} = 4 \).

Ответ: 4