В треугольнике АВС угол C равен 90°, АС = 6, cos A = \(\frac{6√85}{85}\) . Найдите длину стороны ВС.

Решение:

В прямоугольном треугольнике ABC, где угол C равен 90°, нам даны:

• Длина стороны AC = 6
• Косинус угла A: cos A = \(\frac{6\sqrt{85}}{85}\)

Нам нужно найти длину стороны BC.

По определению косинуса в прямоугольном треугольнике:

\( \cos A = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} \)

В нашем случае, прилежащий катет к углу A — это AC, а гипотенуза — AB.

\( \cos A = \frac{AC}{AB} \)

Подставляем известные значения:

\( \frac{6\sqrt{85}}{85} = \frac{6}{AB} \)

Чтобы найти AB, преобразуем уравнение:

\( AB = \frac{6 \times 85}{6\sqrt{85}} = \frac{85}{\sqrt{85}} = \sqrt{85} \)

Теперь, когда мы знаем гипотенузу AB, мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения стороны BC:

\( AC^2 + BC^2 = AB^2 \)

Подставляем известные значения:

\( 6^2 + BC^2 = (\sqrt{85})^2 \)

\( 36 + BC^2 = 85 \)

Вычисляем BC^2:

\( BC^2 = 85 - 36 \)

\( BC^2 = 49 \)

Находим BC, извлекая квадратный корень:

\( BC = \sqrt{49} \)

\( BC = 7 \)

Ответ: 7