В треугольнике АВС угол C равен 90°, АВ = 4 и sinA = √19/10. Найдите АС.

Решение:

В прямоугольном треугольнике ABC (угол C = 90°), синус угла A определяется как отношение противолежащего катета (BC) к гипотенузе (AB).

Формула синуса: \( \sin A = \frac{BC}{AB} \).

Из условия известно, что \( \sin A = \frac{\sqrt{19}}{10} \) и \( AB = 4 \).

Подставим известные значения в формулу:

\( \frac{\sqrt{19}}{10} = \frac{BC}{4} \)

Чтобы найти длину катета BC, выразим его:

\( BC = 4 \cdot \frac{\sqrt{19}}{10} = \frac{4\sqrt{19}}{10} = \frac{2\sqrt{19}}{5} \).

Теперь, зная два катета (BC) и гипотенузу (AB), мы можем найти катет AC, используя теорему Пифагора: \( AC^2 + BC^2 = AB^2 \).

Подставим известные значения:

\( AC^2 + \left(\frac{2\sqrt{19}}{5}\right)^2 = 4^2 \)

\( AC^2 + \frac{4 \cdot 19}{25} = 16 \)

\( AC^2 + \frac{76}{25} = 16 \)

Выразим \( AC^2 \):

\( AC^2 = 16 - \frac{76}{25} \)

Приведем 16 к знаменателю 25:

\( 16 = \frac{16 \cdot 25}{25} = \frac{400}{25} \)

\( AC^2 = \frac{400}{25} - \frac{76}{25} = \frac{324}{25} \)

Извлечем квадратный корень, чтобы найти AC:

\( AC = \sqrt{\frac{324}{25}} = \frac{\sqrt{324}}{\sqrt{25}} = \frac{18}{5} \).

\( \frac{18}{5} = 3.6 \).

Ответ: AC = 18/5 или 3.6.