В треугольнике АВС угол C равен 90°, CH — высота, AB = 36, sin A = 5/6. Найдите длину отрезка BH.

Дано:

• \[ \triangle ABC \text{ — прямоугольный} \]
• \[ \angle C = 90^{\circ} \]
• \[ CH \text{ — высота} \]
• \[ AB = 36 \]
• \[ \sin A = \frac{5}{6} \]

Найти:

• \[ BH \]

Решение:

1. Находим сторону AC:
   В прямоугольном треугольнике ABC: \( \sin A = \frac{BC}{AB} \).
   Значит, \( BC = AB \cdot \sin A = 36 \cdot \frac{5}{6} = 30 \).
2. Находим сторону BC:
   По теореме Пифагора: \( AC^2 + BC^2 = AB^2 \).
   \[ AC^2 + 30^2 = 36^2 \]
   \[ AC^2 + 900 = 1296 \]
   \[ AC^2 = 1296 - 900 = 396 \]
   \[ AC = \sqrt{396} = \sqrt{36 \cdot 11} = 6\sqrt{11} \].
3. Находим высоту CH:
   Площадь треугольника ABC равна \( S = \frac{1}{2} AC \cdot BC = \frac{1}{2} AB \cdot CH \).
   \[ \frac{1}{2} (6\sqrt{11}) \cdot 30 = \frac{1}{2} 36 \cdot CH \]
   \[ 90\sqrt{11} = 18 CH \]
   \[ CH = \frac{90\sqrt{11}}{18} = 5\sqrt{11} \].
4. Находим BH:
   В прямоугольном треугольнике CHB: \(  \angle CHB = 90^{\circ} \).
   По теореме Пифагора: \( BH^2 + CH^2 = BC^2 \).
   \[ BH^2 + (5\sqrt{11})^2 = 30^2 \]
   \[ BH^2 + 25 \cdot 11 = 900 \]
   \[ BH^2 + 275 = 900 \]
   \[ BH^2 = 900 - 275 = 625 \]
   \[ BH = \sqrt{625} = 25 \].

Ответ: 25