В треугольнике АВС угол C равен 90°, CH — высота, АВ = 100, sin A = 4/5. Найдите длину отрезка АН.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Найдем длину стороны BC.
   В прямоугольном треугольнике ABC, у нас есть гипотенуза AB = 100 и sin A = 4/5. Мы знаем, что sin A = BC/AB. Следовательно, \( BC = AB \cdot \sin A \) .
   \( BC = 100 \cdot \frac{4}{5} = 80 \).
2. Шаг 2: Найдем длину стороны AC.
   Используем теорему Пифагора: \( AC^2 + BC^2 = AB^2 \).
   \( AC^2 + 80^2 = 100^2 \)
   \( AC^2 + 6400 = 10000 \)
   \( AC^2 = 10000 - 6400 \)
   \( AC^2 = 3600 \)
   \( AC = \sqrt{3600} = 60 \).
3. Шаг 3: Найдем длину отрезка AH.
   Рассмотрим прямоугольный треугольник ACH. В нем угол H равен 90°. Мы знаем AC = 60 и sin A = 4/5. В этом треугольнике, sin A = CH/AC. Также, cos A = AH/AC.
   Сначала найдем cos A. Так как \( \sin^2 A + \cos^2 A = 1 \), то \( \cos^2 A = 1 - \sin^2 A \) .
   \( \cos^2 A = 1 - (\frac{4}{5})^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{25-16}{25} = \frac{9}{25} \) .
   \( \cos A = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5} \) (так как угол A острый, косинус положительный).
   Теперь найдем AH: \( AH = AC \cdot \cos A \) .
   \( AH = 60 \cdot \frac{3}{5} = 12 \cdot 3 = 36 \).

Альтернативный способ (через подобные треугольники):
Треугольники ABC и ACH подобны (по двум углам: прямой угол C и A общий).
Из подобия следует соотношение: \( \frac{AH}{AC} = \frac{AC}{AB} \) .
\( AH = \frac{AC^2}{AB} \) .
Подставляем значения: \( AH = \frac{60^2}{100} = \frac{3600}{100} = 36 \).

Ответ: 36