В треугольнике АВС угол C равен 90°, CH — высота, АВ = 80, sin A = $$\frac{3}{4}$$. Найдите длину отрезка АН.

Решение:

1. Нахождение $$\cos A$$: Используем основное тригонометрическое тождество: $$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$$. \( \cos^2 A = 1 - \sin^2 A = 1 - (\frac{3}{4})^2 = 1 - \frac{9}{16} = \frac{7}{16} \). Так как A — угол треугольника, \( \cos A = \sqrt{\frac{7}{16}} = \frac{\sqrt{7}}{4} \).
2. Нахождение стороны AC: В прямоугольном треугольнике ABC, $$\cos A = \frac{AC}{AB}$$. Отсюда, \( AC = AB \cdot \cos A = 80 \cdot \frac{\sqrt{7}}{4} = 20\sqrt{7} \).
3. Нахождение AH: В прямоугольном треугольнике ACH, \( \sin A = \frac{CH}{AC} \) и \( \cos A = \frac{AH}{AC} \). Отсюда, \( AH = AC \cdot \cos A = (20\sqrt{7}) \cdot \frac{\sqrt{7}}{4} = \frac{20 \cdot 7}{4} = 5 \cdot 7 = 35 \).

Ответ: 35