В треугольнике АВС угол C равен 90°, радиус вписанной окружности равен 3. Найдите площадь треугольника АВС, если АВ = 15.

Решение:

Пусть \( r \) — радиус вписанной окружности, \( a, b \) — катеты прямоугольного треугольника, \( c \) — гипотенуза.

По условию:

• \( \angle C = 90^\circ \)
• \( r = 3 \)
• \( c = AB = 15 \)

Площадь прямоугольного треугольника \( S \) можно найти по формуле:

\[ S = \frac{1}{2}ab \]

Также существует формула, связывающая радиус вписанной окружности прямоугольного треугольника с его сторонами:

\[ r = \frac{a + b - c}{2} \]

Подставим известные значения:

\[ 3 = \frac{a + b - 15}{2} \]

Умножим обе части на 2:

\[ 6 = a + b - 15 \]

Выразим сумму катетов:

\[ a + b = 6 + 15 \]\[ a + b = 21 \]

Теперь найдём произведение катетов \( ab \). Воспользуемся теоремой Пифагора:

\[ a^2 + b^2 = c^2 \]\[ a^2 + b^2 = 15^2 \]\[ a^2 + b^2 = 225 \]

Возведём в квадрат сумму катетов \( (a+b)^2 \):

\[ (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \]\[ 21^2 = (a^2 + b^2) + 2ab \]\[ 441 = 225 + 2ab \]

Выразим \( 2ab \):

\[ 2ab = 441 - 225 \]\[ 2ab = 216 \]

Теперь найдём площадь треугольника \( S \):

\[ S = \frac{1}{2}ab \]

Из \( 2ab = 216 \) следует, что \( ab = 108 \).

\[ S = \frac{1}{2} × 108 \]\[ S = 54 \]

Сводка:

• Дан прямоугольный треугольник ABC с \( \angle C = 90^\circ \).
• Радиус вписанной окружности \( r = 3 \).
• Гипотенуза \( c = AB = 15 \).
• Использована формула радиуса вписанной окружности: \( r = \frac{a+b-c}{2} \).
• Найдена сумма катетов: \( a+b = 2r+c = 2 × 3 + 15 = 21 \).
• По теореме Пифагора: \( a^2 + b^2 = c^2 = 15^2 = 225 \).
• Вычислено произведение катетов: \( (a+b)^2 = a^2+b^2+2ab \rightarrow 21^2 = 225 + 2ab \rightarrow 441 = 225 + 2ab \rightarrow 2ab = 216 \).
• Площадь треугольника \( S = \frac{1}{2}ab = \frac{216}{4} = 54 \).

Ответ: 54.