В треугольнике АВС угол C равен 90°, sin B = 3/7; AB = 21. Найдите AC.

Решение:

В прямоугольном треугольнике ABC, где \( \angle C = 90^{\circ} \), синус угла B определяется как отношение противолежащего катета (AC) к гипотенузе (AB).

По условию задачи:

• \( \angle C = 90^{\circ} \)
• \( \sin B = \frac{3}{7} \)
• \( AB = 21 \)

Формула для синуса угла B:

\[ \sin B = \frac{AC}{AB} \]\[ \frac{3}{7} = \frac{AC}{21} \]

Чтобы найти длину катета AC, умножим обе части уравнения на 21:

\[ AC = \frac{3}{7} \times 21 \]

Вычислим значение:

\[ AC = 3 \times \frac{21}{7} \]\[ AC = 3 \times 3 \]\[ AC = 9 \]

Проверка:

Найдем косинус угла B:

\[ \cos^2 B = 1 - \sin^2 B = 1 - \left(\frac{3}{7}\right)^2 = 1 - \frac{9}{49} = \frac{40}{49} \]\[ \cos B = \sqrt{\frac{40}{49}} = \frac{\sqrt{40}}{7} = \frac{2\sqrt{10}}{7} \]

Теперь найдем катет BC:

\[ \cos B = \frac{BC}{AB} \]\[ \frac{2\sqrt{10}}{7} = \frac{BC}{21} \]\[ BC = 21 \times \frac{2\sqrt{10}}{7} = 3 \times 2\sqrt{10} = 6\sqrt{10} \]

Проверим теорему Пифагора:

\[ AC^2 + BC^2 = 9^2 + (6\sqrt{10})^2 = 81 + 36 \times 10 = 81 + 360 = 441 \]\[ AB^2 = 21^2 = 441 \]

Теорема Пифагора выполняется, значит, расчеты верны.

Ответ: AC = 9.