В треугольнике АВС угол C равен 90°, sinA = 2√5 / 5, AC = 17. Найдите ВС.

Задание 2

В этом задании нам нужно найти длину катета BC в прямоугольном треугольнике ABC. Мы знаем, что угол C равен 90 градусов, синус угла A равен \( \frac{2\sqrt{5}}{5} \), и длина катета AC равна 17.

Используем определение синуса:

Синус угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к гипотенузе.

\( \sin A = \frac{BC}{AB} \)

Нам известно, что \( \sin A = \frac{2\sqrt{5}}{5} \). Таким образом:

\[ \frac{BC}{AB} = \frac{2\sqrt{5}}{5} \]

Теперь применим теорему Пифагора:

\[ AC^2 + BC^2 = AB^2 \]

У нас есть \( AC = 17 \).

\[ 17^2 + BC^2 = AB^2 \]

\[ 289 + BC^2 = AB^2 \]

Из уравнения для синуса выразим AB:

\[ AB = \frac{5}{2\sqrt{5}} BC \]

Подставим это выражение для AB в уравнение Пифагора:

\[ 289 + BC^2 = \left( \frac{5}{2\sqrt{5}} BC \right)^2 \]

\[ 289 + BC^2 = \frac{25}{4 \cdot 5} BC^2 \]

\[ 289 + BC^2 = \frac{25}{20} BC^2 \]

\[ 289 + BC^2 = \frac{5}{4} BC^2 \]

Вычтем \( BC^2 \) из обеих частей:

\[ 289 = \frac{5}{4} BC^2 - BC^2 \]

\[ 289 = \left( \frac{5}{4} - 1 \right) BC^2 \]

\[ 289 = \frac{1}{4} BC^2 \]

Умножим обе части на 4:

\[ BC^2 = 289 \cdot 4 \]

\[ BC^2 = 1156 \]

Извлечем квадратный корень:

\[ BC = \sqrt{1156} \]

\[ BC = 34 \]

Ответ: BC = 34.