В треугольнике АВС угол C равен 90°, sinA = 3/5, AC = 4. Найдите АВ.

Задание 1

В этом задании нам нужно найти гипотенузу прямоугольного треугольника ABC. Нам известно, что угол C равен 90 градусов, синус угла A равен 3/5, и длина катета AC равна 4.

Используем определение синуса:

Синус угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к гипотенузе. В нашем случае:

\( \sin A = \frac{BC}{AB} \)

Мы знаем, что \( \sin A = \frac{3}{5} \), поэтому:

\[ \frac{BC}{AB} = \frac{3}{5} \]

Теперь используем теорему Пифагора, которая гласит:

\[ AC^2 + BC^2 = AB^2 \]

У нас есть \( AC = 4 \). Подставим это в уравнение:

\[ 4^2 + BC^2 = AB^2 \]

\[ 16 + BC^2 = AB^2 \]

Из отношения синуса мы можем выразить BC:

\[ BC = \frac{3}{5} AB \]

Теперь подставим это выражение для BC в уравнение Пифагора:

\[ 16 + \left( \frac{3}{5} AB \right)^2 = AB^2 \]

\[ 16 + \frac{9}{25} AB^2 = AB^2 \]

Чтобы решить это уравнение относительно \( AB \), вычтем \( \frac{9}{25} AB^2 \) из обеих частей:

\[ 16 = AB^2 - \frac{9}{25} AB^2 \]

\[ 16 = \left( 1 - \frac{9}{25} \right) AB^2 \]

\[ 16 = \left( \frac{25}{25} - \frac{9}{25} \right) AB^2 \]

\[ 16 = \frac{16}{25} AB^2 \]

Теперь найдем \( AB^2 \):

\[ AB^2 = 16 \cdot \frac{25}{16} \]

\[ AB^2 = 25 \]

Извлечем квадратный корень:

\[ AB = \sqrt{25} \]

\[ AB = 5 \]

Ответ: АВ = 5.