В треугольнике АВС угол C равен 90°, СН – высота, АВ = 45, sin A = 2/3. Найдите длину отрезка АН.

Решение:

В прямоугольном треугольнике ABC, по определению синуса острого угла, имеем:

\( \sin A = \frac{BC}{AB} \)

Подставим известные значения:

\[ \frac{2}{3} = \frac{BC}{45} \]

Выразим длину катета BC:

\[ BC = \frac{2}{3} \cdot 45 = 2 \cdot 15 = 30 \]

Теперь найдём второй катет AC, используя теорему Пифагора:

\[ AC^2 + BC^2 = AB^2 \]

\[ AC^2 + 30^2 = 45^2 \]

\[ AC^2 + 900 = 2025 \]

\[ AC^2 = 2025 - 900 = 1125 \]

\[ AC = \sqrt{1125} = \sqrt{225 \cdot 5} = 15\sqrt{5} \]

В прямоугольном треугольнике ABC, CH — высота, проведенная к гипотенузе. Отрезок AH является проекцией катета AC на гипотенузу AB.

Для нахождения длины AH можно использовать свойство высоты, проведенной к гипотенузе, или тригонометрические соотношения в треугольнике ACH.

Рассмотрим треугольник ACH. Он также является прямоугольным (угол AHC = 90°). В нем:

\[ \sin A = \frac{CH}{AC} \quad \text{и} \quad \cos A = \frac{AH}{AC} \]

Мы знаем \( \sin A = \frac{2}{3} \). Найдем \( \cos A \):

\[ \cos^2 A = 1 - \sin^2 A = 1 - (\frac{2}{3})^2 = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9} \]

\[ \cos A = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3} \]

Теперь найдем AH:

\[ AH = AC \cdot \cos A = 15\sqrt{5} \cdot \frac{\sqrt{5}}{3} = 15 \cdot \frac{5}{3} = 5 \cdot 5 = 25 \]

Альтернативный способ:

В прямоугольном треугольнике ABC, по определению косинуса острого угла, имеем:

\[ \cos A = \frac{AC}{AB} \]

Мы уже нашли \( AC = 15\sqrt{5} \) и \( \cos A = \frac{\sqrt{5}}{3} \).

\[ \frac{\sqrt{5}}{3} = \frac{15\sqrt{5}}{45} \]

Это подтверждает наши вычисления. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник ACH. Угол AHC = 90°.

\[ AH = AC \cdot \cos A \]

Используя \( AC = 15\sqrt{5} \) и \( \cos A = \frac{\sqrt{5}}{3} \), получаем:

\[ AH = 15\sqrt{5} \cdot \frac{\sqrt{5}}{3} = \frac{15 \cdot 5}{3} = 5 \cdot 5 = 25 \]

Другой способ:

Площадь треугольника ABC можно найти двумя способами:

\( S = \frac{1}{2} AC · BC = \frac{1}{2} AB · CH \)

\[ S = \frac{1}{2} \cdot 15\sqrt{5} \cdot 30 = 225\sqrt{5} \]

Теперь найдем высоту CH:

\[ 225\sqrt{5} = \frac{1}{2} \cdot 45 \cdot CH \]

\[ CH = \frac{2 \cdot 225\sqrt{5}}{45} = \frac{450\sqrt{5}}{45} = 10\sqrt{5} \]

В прямоугольном треугольнике ACH:

\[ AH^2 = AC^2 - CH^2 \]

\[ AH^2 = (15\sqrt{5})^2 - (10\sqrt{5})^2 = 1125 - 500 = 625 \]

\[ AH = \sqrt{625} = 25 \]

Еще один способ:

В прямоугольном треугольнике ABC, \( CH \) — высота, проведенная к гипотенузе. Отрезок AH является проекцией катета AC на гипотенузу AB.

Верно соотношение:

\[ AC^2 = AH \cdot AB \]

Мы нашли \( AC^2 = 1125 \) и \( AB = 45 \).

\[ 1125 = AH \cdot 45 \]

\[ AH = \frac{1125}{45} = 25 \]

Ответ: 25.