В треугольнике АВС угол C равен 90°, СН — высота, АВ = 45, sin A = 2/3. Найдите длину отрезка BH.

Привет! Давай разберем эту задачку по геометрии вместе. Не волнуйся, сейчас всё станет понятно!

Что нам дано?

• Треугольник ABC, где угол C = 90° (это значит, что он прямоугольный).
• CH — это высота, опущенная из вершины C на гипотенузу AB.
• Длина гипотенузы AB = 45.
• Синус угла A (sin A) = 2/3.

Что нужно найти?

• Длину отрезка BH.

Как будем решать?

1. Найдем длину катета BC.

   В прямоугольном треугольнике ABC мы знаем гипотенузу AB и синус угла A. По определению синуса:

   \[ \sin A = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{BC}{AB} \]

   Подставим известные значения:

   \[ \frac{2}{3} = \frac{BC}{45} \]

   Теперь выразим BC:

   \[ BC = 45 \times \frac{2}{3} \]

   \[ BC = \frac{45 \times 2}{3} \]

   \[ BC = 15 \times 2 \]

   \[ BC = 30 \]

   Итак, длина катета BC равна 30.

2. Найдем длину отрезка BH.

   Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник BHC. Угол CHB равен 90°, потому что CH — это высота.

   В этом треугольнике мы знаем гипотенузу BC (которую мы только что нашли) и нам нужно найти отрезок BH, который является катетом, прилежащим к углу B.

   Однако, проще использовать тот факт, что в прямоугольном треугольнике, проведенная из вершины прямого угла высота разбивает его на два подобных треугольника, каждый из которых подобен исходному треугольнику. В частности, треугольник BHC подобен треугольнику ABC.

   Из подобия треугольников BHC и ABC следует:

   \[ \frac{BH}{BC} = \frac{BC}{AB} \]

   Это соотношение можно запомнить как «высота, опущенная на гипотенузу, делит ее на отрезки так, что квадрат катета равен произведению гипотенузы на прилежащий к этому катету отрезок».

   Подставим известные значения:

   \[ \frac{BH}{30} = \frac{30}{45} \]

   Теперь выразим BH:

   \[ BH = 30 \times \frac{30}{45} \]

   \[ BH = \frac{30 \times 30}{45} \]

   Сократим дробь. И 30, и 45 делятся на 15:

   \[ BH = \frac{(30 \div 15) \times 30}{(45 \div 15)} \]

   \[ BH = \frac{2 \times 30}{3} \]

   \[ BH = \frac{60}{3} \]

   \[ BH = 20 \]

Ответ: 20