В треугольнике АВС угол C в 2 раза меньше угла B, а угол B на 45° больше угла А. a) Найдите углы треугольника. б) Сравните стороны АВ и ВС.

а) Найдите углы треугольника.

Пошаговое решение:

1. Пусть угол \( A = x \). Тогда угол \( B = x + 45^{\circ} \), а угол \( C = \frac{x + 45^{\circ}}{2} \).
2. Сумма углов в треугольнике равна 180°, поэтому: \( A + B + C = 180^{\circ} \). Подставляем известные значения: \( x + (x + 45^{\circ}) + \frac{x + 45^{\circ}}{2} = 180^{\circ} \).
3. Умножаем обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби: \( 2x + 2(x + 45^{\circ}) + x + 45^{\circ} = 360^{\circ} \).
4. Раскрываем скобки: \( 2x + 2x + 90^{\circ} + x + 45^{\circ} = 360^{\circ} \).
5. Приводим подобные слагаемые: \( 5x + 135^{\circ} = 360^{\circ} \).
6. Вычитаем 135° из обеих частей: \( 5x = 225^{\circ} \).
7. Делим обе части на 5: \( x = 45^{\circ} \).
8. Теперь находим углы B и C: \( B = 45^{\circ} + 45^{\circ} = 90^{\circ} \), \( C = \frac{45^{\circ} + 45^{\circ}}{2} = 45^{\circ} \).

Ответ: \( A = 45^{\circ} \), \( B = 90^{\circ} \), \( C = 45^{\circ} \).

б) Сравните стороны АВ и ВС.

Решение:

• Так как угол B равен 90°, то треугольник ABC — прямоугольный.
• Угол A равен углу C, следовательно, треугольник ABC — равнобедренный (\( AB = BC \)).

Ответ: AB = BC.