В треугольнике АВС угол С равен 90°, CH – высота, АВ = 45, sin A = \frac{2}{3}. Найдите длину отрезка ВН.

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Находим длину катета BC

Используем определение синуса угла в прямоугольном треугольнике: \( sin A = \frac{BC}{AB} \)

Подставляем известные значения: \( \frac{2}{3} = \frac{BC}{45} \)

Решаем уравнение относительно BC: \( BC = \frac{2}{3} \cdot 45 = 30 \)

• Шаг 2: Доказываем подобие треугольников АВС и СВН

Рассмотрим треугольники АВС и СВН. У них угол В — общий, и оба треугольника прямоугольные (\( \angle ACB = 90^\circ \) и \( \angle CHB = 90^\circ \)). Следовательно, треугольники АВС и СВН подобны по двум углам.

• Шаг 3: Используем подобие для нахождения ВН

Из подобия треугольников следует пропорция: \( \frac{BC}{AB} = \frac{BH}{BC} \)

Подставляем известные значения: \( \frac{30}{45} = \frac{BH}{30} \)

Решаем уравнение относительно BH: \( BH = \frac{30 \cdot 30}{45} = \frac{900}{45} = 20 \)

Ответ: 20