В треугольнике АВС угол С равен 135°, АВ = 7√2. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

Привет! Давай разберем эту задачку по геометрии вместе.

Дано:

• Треугольник ABC
• Угол C = 135°
• Сторона AB = 7√2

Найти: Радиус окружности, описанной около треугольника (R).

Решение:

Чтобы найти радиус описанной окружности, мы можем воспользоваться теоремой синусов. Она гласит, что отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно удвоенному радиусу описанной окружности.

Формула теоремы синусов выглядит так:

• \[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R \]

Где a, b, c — стороны треугольника, а A, B, C — противолежащие им углы.

В нашей задаче:

• Сторона c = AB = 7√2
• Противолежащий угол C = 135°

Подставим эти значения в формулу:

• \[ \frac{AB}{\sin C} = 2R \]
• \[ \frac{7\sqrt{2}}{\sin 135°} = 2R \]

Теперь нам нужно найти значение синуса 135°. Мы знаем, что \[ \sin(180° - \alpha) = \sin \alpha \] . Следовательно:

• \[ \sin 135° = \sin (180° - 45°) = \sin 45° \]

А \[ \sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2} \] .

Подставляем это значение обратно в нашу формулу:

• \[ \frac{7\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 2R \]

Разделим \[ 7\sqrt{2} \] на \[ \frac{\sqrt{2}}{2} \] . При делении на дробь, мы умножаем на обратную дробь:

• \[ 7\sqrt{2} \times \frac{2}{\sqrt{2}} = 2R \]

Сокращаем \[ \sqrt{2} \] :

• \[ 7 \times 2 = 2R \]
• \[ 14 = 2R \]

Теперь найдем R, разделив обе части на 2:

• \[ R = \frac{14}{2} \]
• \[ R = 7 \]

Ответ:

Радиус описанной окружности равен 7.