В треугольнике АВС угол С равен 90°, СН — высота, AB=45, sin A = 1/3. Найдите длину отрезка ВН.

Привет! Давай решим эту задачу по геометрии.

У нас есть прямоугольный треугольник \(ABC\), где \(\angle C = 90°\). \(CH\) — это высота, проведенная из вершины прямого угла к гипотенузе.

Нам дано:

• Гипотенуза \(AB = 45\)
• \(\sin A = \frac{1}{3}\)

Нам нужно найти длину отрезка \(BH\).

1. Найдем длину катета BC:

   В прямоугольном треугольнике \(ABC\):

   \(\sin A = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{BC}{AB}\)

   Подставляем известные значения:

   \(\frac{1}{3} = \frac{BC}{45}\)

   Отсюда находим \(BC\):

   \(BC = 45 \times \frac{1}{3} = 15\)

2. Рассмотрим треугольник BCH:

   Высота \(CH\) делит прямоугольный треугольник \(ABC\) на два подобных ему прямоугольных треугольника: \(ACH\) и \(BCH\).

   Значит, треугольник \(BCH\) является прямоугольным (\(\angle CHB = 90°\)).

   Также, угол \(BCH\) равен углу \(A\) (как углы, дополняющие равные острые углы \(\angle CBH\) и \(\angle ABC\) до 90° в подобных треугольниках \(BCH\) и \(ABC\)).

   В треугольнике \(BCH\):

   • Катет \(CH\)
   • Катет \(BH\)
   • Гипотенуза \(BC = 15\)
   • Угол \(\angle BCH = ∠A = \arcsin(\frac{1}{3})\)

   Нам нужно найти \(BH\). В треугольнике \(BCH\) мы можем использовать синус угла \(BCH\) или косинус угла \(CBH\).

   В прямоугольном треугольнике \(ABC\), угол \(B = 90° - A\). В прямоугольном треугольнике \(BCH\), угол \(CBH\) равен углу \(B\) треугольника \(ABC\). Следовательно, \(\angle CBH = 90° - A\).

   Теперь рассмотрим треугольник \(BCH\) и найдем \(BH\) через косинус угла \(CBH\):

   \(\cos(\angle CBH) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{BH}{BC}\)

   Нам нужно найти \(\cos(\angle CBH)\). Мы знаем, что \(\angle CBH = 90° - A\). Используя тригонометрическое тождество \(\cos(90° - x) = \sin x\), получаем:

   \(\cos(\angle CBH) = \cos(90° - A) = \sin A\)

   Мы знаем, что \(\sin A = \frac{1}{3}\).

   Значит, \(\cos(\angle CBH) = \frac{1}{3}\).

   Теперь подставим это в формулу для \(BH\):

   \(\frac{1}{3} = \frac{BH}{15}\)

   Находим \(BH\):

   \(BH = 15 \times \frac{1}{3} = 5\)

Ответ: Длина отрезка \(BH\) равна 5.