В треугольнике АВС угол С равен 90°, стороны АС и ВС равны. На стороне АВ отметили точку Р так, что угол АСР равен 16°. Найдите градусную меру угла АРС.

Решение:

1. Анализ треугольника ABC:
• Треугольник ABC — прямоугольный (угол C = 90°).
• AC = BC (по условию), значит, треугольник ABC — равнобедренный прямоугольный.
• Углы при основании AB равны: \[ \angle CAB = \angle CBA = \frac{180° - 90°}{2} = 45° \]
2. Анализ угла ACP:
• Дано: \[ \angle ACP = 16° \]
• Найдем угол BCP:
• \[ \angle BCP = \angle ACB - \angle ACP = 90° - 16° = 74° \]
• Анализ треугольника ACP:
• Известны углы CAB (45°) и ACP (16°).
• Сумма углов в треугольнике ACP: \(\nolimits\) \(\angle\) APC + \(\angle\) PAC + \(\angle\) PCA = 180° \]
• \(\nolimits\) \(\angle\) APC + 45° + 16° = 180° \]
• \(\nolimits\) \(\angle\) APC = 180° - 45° - 16° = 180° - 61° = 119° \]
• Проверка (необязательно):
• Рассмотрим треугольник BCP:
• \(\nolimits\) \(\angle\) BPC = 180° - \(\angle\) APC = 180° - 119° = 61° \]
• Сумма углов в треугольнике BCP: \(\nolimits\) \(\angle\) BPC + \(\angle\) PBC + \(\angle\) PCB = 61° + 45° + 74° = 180° \]
• (Замечено, что угол BCP = 74°, а не 45°, что означает, что P находится ближе к C. Это подтверждает расчеты.)

Ответ: 119°