1. В треугольнике АВС, угол В=35°, угол С=25°. Укажите наибольшую сторону треугольника. 2. Две ороны треугольника равны 3 см и 8 см, а угол между ними равен 60°. Найдите периметр треугольника. 3.Решите треугольник АВС, если угол В=75°, угол А=45°, АВ=2√3 см. 4. Диагонали параллелограмма равны 12 см и 20 см, а угол между ними равен 60°. Найдите стороны аллелограмма. 5.В прямоугольном треугольнике один из углов равен а, а катет, прилежащий к данному углу равен а. ците биссектрису прямого угла.

1. В треугольнике ABC, угол B = 35°, угол C = 25°. Укажите наибольшую сторону треугольника.

Сумма углов в треугольнике равна 180°, следовательно, угол A = 180° - 35° - 25° = 120°.

В треугольнике против большего угла лежит большая сторона. Так как угол А наибольший, то сторона BC наибольшая.

Ответ: BC

2. Две стороны треугольника равны 3 см и 8 см, а угол между ними равен 60°. Найдите периметр треугольника.

По теореме косинусов найдем третью сторону треугольника:

$$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot cos(C)$$, где a = 3 см, b = 8 см, угол С = 60°.

$$c^2 = 3^2 + 8^2 - 2 \cdot 3 \cdot 8 \cdot cos(60°) = 9 + 64 - 48 \cdot \frac{1}{2} = 73 - 24 = 49$$

$$c = \sqrt{49} = 7$$ см.

Периметр треугольника равен сумме длин всех его сторон: P = 3 + 8 + 7 = 18 см.

Ответ: 18 см

3. Решите треугольник АВС, если угол В=75°, угол А=45°, АВ=2√3 см.

Найдем угол C: угол C = 180° - угол A - угол B = 180° - 45° - 75° = 60°.

По теореме синусов: $$\frac{AB}{\sin C} = \frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B}$$

Найдем сторону BC: $$\frac{2\sqrt{3}}{\sin 60°} = \frac{BC}{\sin 45°}$$

$$BC = \frac{2\sqrt{3} \cdot \sin 45°}{\sin 60°} = \frac{2\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2\sqrt{2}$$ см.

Найдем сторону AC: $$\frac{2\sqrt{3}}{\sin 60°} = \frac{AC}{\sin 75°}$$

$$AC = \frac{2\sqrt{3} \cdot \sin 75°}{\sin 60°}$$

$$\sin 75° = \sin (45° + 30°) = \sin 45° \cos 30° + \cos 45° \sin 30° = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$$

$$AC = \frac{2\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{18} + \sqrt{6}}{2\frac{3}{2}} = \frac{3\sqrt{2} + \sqrt{6}}{\sqrt{3}} = \sqrt{6} + \sqrt{2}$$ см.

Ответ: угол C = 60°, BC = $$2\sqrt{2}$$ см, AC = $$\sqrt{6} + \sqrt{2}$$ см

4. Диагонали параллелограмма равны 12 см и 20 см, а угол между ними равен 60°. Найдите стороны параллелограмма.

Пусть диагонали параллелограмма $$d_1$$ и $$d_2$$, угол между ними $$φ$$. Тогда стороны параллелограмма можно найти по формулам:

$$a = \sqrt{\frac{d_1^2}{4} + \frac{d_2^2}{4} - \frac{d_1d_2}{2} \cos φ}$$

$$b = \sqrt{\frac{d_1^2}{4} + \frac{d_2^2}{4} + \frac{d_1d_2}{2} \cos φ}$$

В нашем случае: $$d_1=12$$ см, $$d_2=20$$ см, $$φ=60°$$.

$$a = \sqrt{\frac{12^2}{4} + \frac{20^2}{4} - \frac{12 \cdot 20}{2} \cos 60°} = \sqrt{\frac{144}{4} + \frac{400}{4} - \frac{240}{2} \cdot \frac{1}{2}} = \sqrt{36 + 100 - 60 \cdot \frac{1}{2}} = \sqrt{136-30}=\sqrt{106}$$ см

$$b = \sqrt{\frac{12^2}{4} + \frac{20^2}{4} + \frac{12 \cdot 20}{2} \cos 60°} = \sqrt{\frac{144}{4} + \frac{400}{4} + \frac{240}{2} \cdot \frac{1}{2}} = \sqrt{36 + 100 + 60 \cdot \frac{1}{2}} = \sqrt{136+30}=\sqrt{166}$$ см

Ответ: $$\sqrt{106}$$ см, $$\sqrt{166}$$ см

5. В прямоугольном треугольнике один из углов равен а, а катет, прилежащий к данному углу равен а. ците биссектрису прямого угла.

Пусть дан прямоугольный треугольник ABC, где угол C = 90°, угол A = α, катет AC = a. Необходимо найти длину биссектрисы CD угла C.

Биссектриса CD делит прямой угол C пополам, следовательно, угол ACD = 45°.

В прямоугольном треугольнике ABC: угол B = 90° - α.

Пусть катет BC = x.

Тогда: tan(α) = BC / AC = x / a => x = a * tan(α).

Площадь треугольника ABC равна: S(ABC) = (1/2) * AC * BC = (1/2) * a * a * tan(α) = (1/2) * a^2 * tan(α).

Биссектриса CD делит треугольник ABC на два треугольника: ACD и BCD. Сумма площадей этих треугольников равна площади треугольника ABC: S(ABC) = S(ACD) + S(BCD).

Площадь треугольника ACD равна: S(ACD) = (1/2) * AC * CD * sin(ACD) = (1/2) * a * CD * sin(45°) = (1/2) * a * CD * (√2 / 2) = (√2 / 4) * a * CD.

Площадь треугольника BCD равна: S(BCD) = (1/2) * BC * CD * sin(BCD) = (1/2) * x * CD * sin(45°) = (1/2) * a * tan(α) * CD * (√2 / 2) = (√2 / 4) * a * tan(α) * CD.

Получаем уравнение: (1/2) * a^2 * tan(α) = (√2 / 4) * a * CD + (√2 / 4) * a * tan(α) * CD.

Умножим обе части уравнения на 4 и разделим на a (предполагая, что a ≠ 0):

2 * a * tan(α) = √2 * CD + √2 * tan(α) * CD.

CD * (√2 + √2 * tan(α)) = 2 * a * tan(α).

CD = (2 * a * tan(α)) / (√2 + √2 * tan(α)).

CD = (2 * a * tan(α)) / (√2 * (1 + tan(α))).

CD = (√2 * a * tan(α)) / (1 + tan(α)).

Ответ: CD = $$\frac{\sqrt{2} \cdot a \cdot tan(α)}{1 + tan(α)}$$