В треугольнике АВС угол В - прямой, BD - высота треугольника, АС = 32 см, AB = 2BD Чему равен угол С?

Решение:

В прямоугольном треугольнике ABC, \( \angle B = 90^{\circ} \). BD - высота, проведенная к гипотенузе AC.

По свойству высоты прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе, имеем:

\( AB^2 = AD \cdot AC \)

Также, в прямоугольном треугольнике ABD, \( \angle ADB = 90^{\circ} \).

Из условия задачи дано \( AB = 2BD \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABD. По теореме Пифагора:

\( AB^2 = AD^2 + BD^2 \)

Подставим \( AB = 2BD \):

\( (2BD)^2 = AD^2 + BD^2 \)

\( 4BD^2 = AD^2 + BD^2 \)

\( 3BD^2 = AD^2 \)

\( AD = \sqrt{3} BD \)

Теперь используем соотношение \( AB^2 = AD \cdot AC \):

\( (2BD)^2 = (\sqrt{3} BD) \cdot 32 \)

\( 4BD^2 = 32 \sqrt{3} BD \)

Разделим обе стороны на \( 4BD \) (предполагая, что \( BD \neq 0 \)):

\( BD = 8 \sqrt{3} \) см.

Теперь найдём AB:

\( AB = 2BD = 2 \cdot 8 \sqrt{3} = 16 \sqrt{3} \) см.

В прямоугольном треугольнике ABC:

\( \sin(\angle C) = \frac{AB}{AC} = \frac{16 \sqrt{3}}{32} = \frac{\sqrt{3}}{2} \)

Угол, синус которого равен \( \frac{\sqrt{3}}{2} \), равен 60 градусов.

\( \angle C = 60^{\circ} \)

Ответ: 60°.