В треугольнике АВС угол В равен 120°, внешний угол при вершине С равен 150°, сторона ВС равна 32. Из вершины А проведена высота АН. Найдите длину отрезка ВН.

Question

Вопрос:

В треугольнике АВС угол В равен 120°, внешний угол при вершине С равен 150°, сторона ВС равна 32. Из вершины А проведена высота АН. Найдите длину отрезка ВН.

Ответ:

ФИО:Телефон:Емаил:Полное описание сути нарушения прав (почему распространение данной информации запрещено Правообладателем):

Accepted Answer

Дано:

\[ \angle B = 120^{\circ} \]
\[ \text{Внешний } \angle C = 150^{\circ} \]
\[ BC = 32 \]
АН — высота.

Найти:

\[ BH \]

Решение:

Находим внутренний угол С:
Внешний угол и внутренний угол треугольника, прилежащие к одной вершине, в сумме дают 180°. Значит:
\[ \angle C = 180^{\circ} - 150^{\circ} = 30^{\circ} \]
Находим угол А:
Сумма углов в треугольнике равна 180°. В треугольнике АВС:
\[ \angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ} \]
\[ \angle A + 120^{\circ} + 30^{\circ} = 180^{\circ} \]
\[ \angle A = 180^{\circ} - 120^{\circ} - 30^{\circ} = 30^{\circ} \]
Анализируем треугольник АНС:
Так как АН — высота, то \[ \angle AHC = 90^{\circ} \].
Мы нашли, что \[ \angle C = 30^{\circ} \].
В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.
В треугольнике АНС катет АН лежит против угла С (30°). Значит, \[ AH = \frac{1}{2} AC \].
То есть, \[ AC = 2 \cdot AH \].
Анализируем треугольник АНВ:
Угол В равен 120°. Так как АН — высота, то угол АНВ является развернутым углом, который составляет 180°. Чтобы найти угол АНВ, надо рассмотреть треугольник АНВ.
Угол АНВ = 90°.
Угол АВС = 120°.
Тогда угол АВН = 180° - 120° = 60°.
В прямоугольном треугольнике АНВ:
\[ \angle BAH + \angle ABH + \angle AHB = 180^{\circ} \]
\[ \angle BAH + 60^{\circ} + 90^{\circ} = 180^{\circ} \]
\[ \angle BAH = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ} \]
Применяем тригонометрию:
В прямоугольном треугольнике АНВ:
\[ BH = AB \cdot \cos(60^{\circ}) \]
\[ AH = AB \cdot \sin(60^{\circ}) \]
Мы знаем, что \[ \angle B = 120^{\circ} \], внешний угол при вершине С равен 150° => \[ \angle C = 30^{\circ} \], \[ BC = 32 \].
В треугольнике АВС \[ \angle A = 180^{\circ} - 120^{\circ} - 30^{\circ} = 30^{\circ} \].
Так как \[ \angle A = \angle C = 30^{\circ} \], то треугольник АВС — равнобедренный с основанием ВС. Значит, \[ AB = BC = 32 \].
Находим BH:
Рассмотрим прямоугольный треугольник АНВ. Угол \[ ABH = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ} \].
Мы знаем, что \[ AB = 32 \].
В прямоугольном треугольнике катет, прилежащий к углу, равен гипотенузе, умноженной на косинус этого угла.
\[ BH = AB \cdot \cos(60^{\circ}) \]
\[ BH = 32 \cdot \frac{1}{2} \]
\[ BH = 16 \]

Ответ: 16