В треугольнике АВС высота BD делит угол В на два угла, причем ∠ABD = 40°, ∠CBD = 10°. а) Докажите, что треугольник АВС равнобедренный, и укажите его основание. б) Высоты данного треугольника пересекаются в точке О. Найдите ∠BOC.

Решение:

Для начала найдем общий угол B:

• \[ \angle B = \angle ABD + \angle CBD = 40° + 10° = 50° \]

а) Доказательство равнобедренности треугольника АВС

Чтобы доказать, что треугольник АВС равнобедренный, нам нужно показать, что два его угла равны. Мы знаем, что BD — это высота, значит, BD ⊥ AC. Рассмотрим прямоугольные треугольники ABD и CBD:

• В △ABD:
  \[ \angle BAD = 180° - 90° - \angle ABD = 180° - 90° - 40° = 50° \]
• В △CBD:
  \[ \angle BCD = 180° - 90° - \angle CBD = 180° - 90° - 10° = 80° \]

Теперь сравним углы треугольника АВС:

• \[ \angle BAC = 50° \]
• \[ \angle ABC = 50° \]
• \[ \angle BCA = 80° \]

Так как
\[ \angle BAC = \angle ABC = 50° \], то треугольник АВС является равнобедренным с основанием АС.

б) Нахождение угла ∠BOC

Высоты треугольника пересекаются в точке О (ортоцентр). В равнобедренном треугольнике высота BD, проведенная к основанию, является также медианой и биссектрисой. Значит, точка О лежит на BD.

Рассмотрим треугольник BOC. Мы знаем:

• \[ \angle OBC = \angle ABC - \angle ABD = 50° - 40° = 10° \]
• \[ \angle OCB = \angle BCA = 80° \]

Теперь найдем угол ∠BOC в треугольнике BOC:

• \[ \angle BOC = 180° - \angle OBC - \angle OCB = 180° - 10° - 80° = 90° \]

Ответ:

а) Треугольник АВС равнобедренный, основание АС.

б) ∠BOC = 90°.