В треугольнике АВС высота BD делит угол В на два угла, причем ∠ABD = 40°, ∠CBD = 25°. а) Докажите, что треугольник АВС равнобедренный, и укажите его основание. б) Высоты данного треугольника пересекаются в точке О. Найдите ∠ВОС.

Решение:

а) Доказательство:

1. Находим угол В:\[ \angle ABC = \angle ABD + \angle CBD = 40^{\circ} + 25^{\circ} = 65^{\circ} \]
2. Угол А: Так как BD — высота, то \( \angle BDA = 90^{\circ} \). В прямоугольном треугольнике ABD:\[ \angle BAD = 90^{\circ} - \angle ABD = 90^{\circ} - 40^{\circ} = 50^{\circ} \]
3. Угол С: В треугольнике ABC:\[ \angle BCA = 180^{\circ} - \angle ABC - \angle BAC = 180^{\circ} - 65^{\circ} - 50^{\circ} = 65^{\circ} \]
4. Равнобедренный треугольник: Так как \( \angle ABC = \angle BCA = 65^{\circ} \), то треугольник ABC является равнобедренным с основанием AC.

Ответ: Треугольник ABC равнобедренный, его основание — AC.

б) Нахождение ∠ВОС:

1. Первый способ (через точку пересечения высот):
   • Высоты треугольника пересекаются в точке ортоцентра.
   • Пусть AE — высота, проведенная из вершины A к стороне BC. \( \angle AEB = 90^{\circ} \).
   • В треугольнике ABE:\[ \angle BAE = 180^{\circ} - 90^{\circ} - \angle ABE = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 65^{\circ} = 25^{\circ} \]
   • Угол ∠OAE равен \( 25^{\circ} \).
   • Угол ∠OAC равен \( \angle BAE = 25^{\circ} \).
   • Угол ∠OCA: Так как треугольник ABC равнобедренный, высота BD является и медианой, и биссектрисой. Угол C равен \( 65^{\circ} \).
   • В прямоугольном треугольнике AOC:\[ \angle AOC = 180^{\circ} - \angle OAC - \angle OCA = 180^{\circ} - 25^{\circ} - 65^{\circ} = 90^{\circ} \]
   • Угол ∠BOC: Углы \( \angle AOC \) и \( \angle BOC \) смежные, их сумма равна \( 180^{\circ} \).\[ \angle BOC = 180^{\circ} - \angle AOC = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ} \]
   • Второй способ (через углы треугольника BOC):
     • Рассмотрим треугольник BOC.
     • \( \angle OBC = \angle ABC - \angle ABD = 65^{\circ} - 40^{\circ} = 25^{\circ} \).
     • \( \angle OCB = \angle BCA = 65^{\circ} \) (так как AC — основание равнобедренного треугольника).
     • В треугольнике BOC:\[ \angle BOC = 180^{\circ} - \angle OBC - \angle OCB = 180^{\circ} - 25^{\circ} - 65^{\circ} = 90^{\circ} \]

   Ответ: \( \angle BOC = 90^{\circ} \).