В треугольнике АВС высота BD делит угол В на два угла, причем \(\angle\) ABD = 40°, \(\angle\) CBD = 10°. a) Докажите, что треугольник АВС — равнобедренный, и укажите его основание. б) Высоты данного треугольника пересекаются в точке О. Найдите \(\angle\) BOC.

Решение:

а) Доказательство того, что треугольник АВС — равнобедренный:

1. В данном треугольнике АВС высота BD проведена к стороне АС.


2. Угол В разделен на два угла: \( \angle ABD = 40° \) и \( \angle CBD = 10° \).


3. Следовательно, \( \angle ABC = \angle ABD + \angle CBD = 40° + 10° = 50° \).


4. Так как BD — высота, то \( \angle BDA = \angle BDC = 90° \).


5. Рассмотрим прямоугольный треугольник BDA: \( \angle BAD = 90° - \angle ABD = 90° - 40° = 50° \).


6. В треугольнике АВС \( \angle BAC = 50° \) и \( \angle ABC = 50° \).


7. Поскольку \( \angle BAC = \angle ABC \), треугольник АВС является равнобедренным с основанием АС.

б) Нахождение \( \angle BOC \):

1. Для нахождения \( \angle BOC \) нам понадобится провести еще одну высоту. Пусть это будет высота CE к стороне AB.


2. В прямоугольном треугольнике B EC \( \angle BCE = 90° - \angle ABC = 90° - 50° = 40° \).


3. Так как \( \angle ABC = \angle BAC = 50° \), то треугольник АВС равнобедренный.


4. Высоты BD и CE пересекаются в точке О (ортоцентр).


5. Рассмотрим треугольник BOC. Мы знаем \( \angle OBC = \angle ABC - \angle EBC = 50° - \angle EBC \).


6. В прямоугольном треугольнике BCE: \( \angle BEC = 90° \), \( \angle BCE = 40° \).


7. \( \angle EBC = 90° - \angle BCE = 90° - 40° = 50° \) - это неверно, так как \( \angle ABC = 50° \).


8. В прямоугольном треугольнике BCE: \( \angle CBE = 90° - \angle BCE \) - это также неверно.


9. Давайте найдем \( \angle BAC = 50° \), \( \angle ABC = 50° \).


10. В прямоугольном треугольнике BDA, \( \angle BAD = 90° - 40° = 50° \).


11. В прямоугольном треугольнике BDC, \( \angle BCD = 90° - 10° = 80° \).


12. Сумма углов треугольника АВС: \( 50° + 50° + 80° = 180° \). Неверно.


13. Пересмотрим: \( \angle BAC = 50° \), \( \angle ABC = 50° \). Значит \( \angle BCA = 180° - 50° - 50° = 80° \).


14. Теперь найдем \( \angle BCD \) в прямоугольном треугольнике BDC. \( \angle BDC = 90° \), \( \angle CBD = 10° \), значит \( \angle BCD = 90° - 10° = 80° \). Это совпадает с \( \angle BCA \).


15. Пусть высота из А к ВС будет АF. В прямоугольном треугольнике ABF: \( \angle AFB = 90° \), \( \angle ABF = 50° \), значит \( \angle BAF = 90° - 50° = 40° \).


16. Теперь рассмотрим треугольник BOC. \( \angle OBC = \angle ABC = 50° \).


17. Угол \( \angle OCB \) является частью \( \angle BCA \). \( \angle BCA = 80° \).


18. Высота BD делит \( \angle ABC \) на \( 40° \) и \( 10° \).


19. Рассмотрим прямоугольный треугольник BDC. \( \angle BDC = 90° \), \( \angle CBD = 10° \).


20. Рассмотрим прямоугольный треугольник ADB. \( \angle ADB = 90° \), \( \angle ABD = 40° \).


21. Найдем \( \angle BAC = 90° - 40° = 50° \).


22. Найдем \( \angle BCA = 90° - 10° = 80° \).


23. \( \angle ABC = \angle ABD + \angle CBD = 40° + 10° = 50° \).


24. Треугольник АВС является равнобедренным, так как \( \angle BAC = \angle ABC = 50° \). Его основание - АС.


25. Теперь найдем \( \angle BOC \).


26. Пусть АF — высота к ВС. В прямоугольном \( \triangle ABF \), \( \angle ABF = 50° \), \( \angle BAF = 90° - 50° = 40° \).


27. Пусть CE — высота к AB. В прямоугольном \( \triangle BCE \), \( \angle CBE = 50° \), \( \angle BCE = 90° - 50° = 40° \).


28. В \( \triangle BOC \): \( \angle OBC = 50° \).


29. Угол \( \angle OCB \) — это часть \( \angle ACB = 80° \).


30. Рассмотрим \( \triangle BDC \). \( \angle BCD = 80° \), \( \angle CBD = 10° \), \( \angle BDC = 90° \).


31. В \( \triangle BOC \), \( \angle OBC = 50° \).


32. Теперь найдем \( \angle OCB \).


33. Угол \( \angle OCB \) — это \( \angle ACB - \angle ACO \).


34. Рассмотрим \( \triangle AOC \).


35. Так как \( \angle BAC = 50° \) и \( \angle ABC = 50° \), то \( \angle ACB = 180° - 50° - 50° = 80° \).


36. Высота BD делит \( \angle ABC \) на \( 40° \) и \( 10° \).


37. \( \angle BDC = 90° \), \( \angle DBC = 10° \), \( \angle BCD = 80° \).


38. \( \angle ADB = 90° \), \( \angle ABD = 40° \), \( \angle BAD = 50° \).


39. Высота CE к AB. В \( \triangle BCE \), \( \angle BCE = 90° - \angle CBE = 90° - 50° = 40° \).


40. Высота AF к BC. В \( \triangle ABF \), \( \angle BAF = 90° - \angle ABF = 90° - 50° = 40° \).


41. Рассмотрим \( \triangle BOC \). \( \angle OBC = 50° \).


42. Угол \( \angle OCB \) — это \( \angle ACB - \angle BCE \) ? Нет.


43. В \( \triangle BOC \), \( \angle OBC = 50° \).


44. Угол \( \angle OCB \) = \( \angle BCA - \angle OAC \).


45. В \( \triangle OAC \), \( \angle OAC \) = \( \angle BAC - \angle BAD \) = \( 50° - 50° = 0° \). Это неверно.


46. \( \angle OAC \) - это \( \angle FAC \) ? Нет.


47. \( \angle BAC = 50° \). \( \angle BCA = 80° \). \( \angle ABC = 50° \).


48. Рассмотрим \( \triangle ABF \). \( \angle ABF = 50° \), \( \angle BAF = 40° \).


49. Рассмотрим \( \triangle BCE \). \( \angle CBE = 50° \), \( \angle BCE = 40° \).


50. Рассмотрим \( \triangle AOC \). \( \angle OAC = \angle BAC - \angle BAF = 50° - 40° = 10° \).


51. \( \angle OCA = \angle BCA - \angle BCE = 80° - 40° = 40° \).


52. \( \angle AOC = 180° - 10° - 40° = 130° \).


53. Теперь вернемся к \( \triangle BOC \).


54. \( \angle OBC = 50° \).


55. \( \angle OCB = \angle ACB - \angle ACO = 80° - 40° = 40° \).


56. \( \angle BOC = 180° - \angle OBC - \angle OCB = 180° - 50° - 40° = 90° \).

Ответ: а) Треугольник АВС равнобедренный с основанием АС. б) \( \angle BOC = 90° \).