В треугольнике АВС высоты ВН и СМ пересекаются в точке М. Найдите высоту CN, если МN = 12, BM = 16, MH = 15. Используя данные, указанные на рисунке, найдите сторону АВ.

3. Рассмотрим треугольник ВМN и треугольник СМН. Они подобны, так как углы при вершинах М равны как вертикальные, а углы при вершинах N и H прямые, так как ВН и СМ высоты. Следовательно, треугольники подобны по двум углам. Из подобия следует, что \(\frac{MN}{MH} = \frac{BM}{CM}\). Подставим известные значения: \(\frac{12}{15} = \frac{16}{CM}\). Отсюда, \(CM = \frac{16 \cdot 15}{12} = \frac{4 \cdot 15}{3} = 4 \cdot 5 = 20\). Тогда высота \(CN = CM + MN = 20 + 12 = 32\). Ответ: 32. 4. Рассмотрим треугольник АВС. В нем известны угол А, а также стороны АС и ВС. По теореме косинусов: \(BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot cosA\) Подставим известные значения: \(15^2 = AB^2 + 18^2 - 2 \cdot AB \cdot 18 \cdot cos60^\circ\) \(225 = AB^2 + 324 - 2 \cdot AB \cdot 18 \cdot \frac{1}{2}\) \(AB^2 - 18AB + 99 = 0\) Решим квадратное уравнение относительно АВ. Дискриминант равен: \(D = (-18)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 99 = 324 - 396 = -72\) Так как дискриминант отрицательный, то уравнение не имеет действительных корней. Ошибка в условии. Предположим, что угол А равен не 6, а 60 градусам. Тогда cos 60 = 1/2. \(15^2 = AB^2 + 18^2 - 2 \cdot AB \cdot 18 \cdot \frac{1}{2}\) \(225 = AB^2 + 324 - 18AB\) \(AB^2 - 18AB + 99 = 0\) \(D = 18^2 - 4 \cdot 99 = 324 - 396 = -72\). Опять отрицательный дискриминант. Если АС=8, то \(15^2 = AB^2 + 8^2 - 2 \cdot AB \cdot 8 \cdot \frac{1}{2}\) \(225 = AB^2 + 64 - 8AB\) \(AB^2 - 8AB - 161 = 0\) \(D = 64 + 4 \cdot 161 = 64 + 644 = 708\) \(AB = \frac{8 \pm \sqrt{708}}{2} \approx \frac{8 \pm 26.6}{2}\) \(AB \approx 17.3\) Ответ: 17.3