4. В треугольнике АВС: а) Даны: сторона АВ = 15 см, ∠BCA = 30°, угол между стороной АС и биссектрисой AD равен 22,5°. Найти угол АВС, внешний угол при вер- шине А, сторону ВС, радиус описанной окружности R. б) Даны: сторона АВ = 15 см, сторона АС = 10 см, ∠BAC = 60°. Найти сторону ВС, полупериметр р, площадь Ѕ, радиусы вписанной r и описанной R окружностей треугольника с точностью до сотых. 5. В параллелограмме стороны а = 6 см и b = 12 см и острый угол α = 60°. Найти тупой угол в, диагонали д₁ и д₂, высоты һ₁ и һ₂, и площадь S параллелограмма. 6. В ромб с тупым углом а = 120° вписан круг, площадь которого S = 36л см². Найти высоту һ, сторону а, диагонали д₁, d₂, площадь S ромба. 7. Площадь треугольника АВС равна 16 см². DE средняя линия треугольника, которая параллельна стороне АВ. Найти площадь трапе- ции ADEB. 8. Найти вписанный угол, который опирается на дугу, составляю- щую - окружности. 3 5

Задача 4. Треугольник ABC

а)

Смотри, тут придётся вспомнить теорему о сумме углов треугольника и свойства биссектрисы!

• Угол \(CAD = 22.5°\), так как AD – биссектриса.
• Угол \(BAC = 2 \cdot CAD = 2 \cdot 22.5° = 45°\)
• Угол \(ABC = 180° - \angle BAC - \angle BCA = 180° - 45° - 30° = 105°\)
• Внешний угол при вершине A равен \(180° - \angle BAC = 180° - 45° = 135°\)

Теперь применим теорему синусов, чтобы найти сторону BC и радиус описанной окружности R.

• \(\frac{BC}{\sin{\angle BAC}} = \frac{AB}{\sin{\angle BCA}}\)
• \(BC = \frac{AB \cdot \sin{\angle BAC}}{\sin{\angle BCA}} = \frac{15 \cdot \sin{45°}}{\sin{30°}} = \frac{15 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}} = 15\sqrt{2} \approx 21.21\) см

Радиус описанной окружности можно найти, используя ту же теорему синусов:

• \(\frac{AB}{\sin{\angle BCA}} = 2R\)
• \(R = \frac{AB}{2 \cdot \sin{\angle BCA}} = \frac{15}{2 \cdot \sin{30°}} = \frac{15}{2 \cdot \frac{1}{2}} = 15\) см

Ответ: \(\angle ABC = 105°\), внешний угол при A = 135°, \(BC = 21.21\) см, \(R = 15\) см.

б)

Смотри, тут нам понадобится теорема косинусов и формулы для площади треугольника и радиусов вписанной и описанной окружностей!

• Найдем сторону BC, используя теорему косинусов:
• \(BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos{\angle BAC}\)
• \(BC^2 = 15^2 + 10^2 - 2 \cdot 15 \cdot 10 \cdot \cos{60°} = 225 + 100 - 300 \cdot \frac{1}{2} = 325 - 150 = 175\)
• \(BC = \sqrt{175} = 5\sqrt{7} \approx 13.23\) см

Теперь найдем полупериметр p:

• \(p = \frac{AB + AC + BC}{2} = \frac{15 + 10 + 5\sqrt{7}}{2} = \frac{25 + 5\sqrt{7}}{2} \approx 19.12\) см

Площадь S можно найти по формуле Герона:

• \(S = \sqrt{p(p - AB)(p - AC)(p - BC)}\)
• \(S = \sqrt{19.12(19.12 - 15)(19.12 - 10)(19.12 - 13.23)} = \sqrt{19.12 \cdot 4.12 \cdot 9.12 \cdot 5.89} \approx 75\) см²

Радиус вписанной окружности r:

• \(r = \frac{S}{p} = \frac{75}{19.12} \approx 3.92\) см

Радиус описанной окружности R:

• \(R = \frac{AB \cdot AC \cdot BC}{4S} = \frac{15 \cdot 10 \cdot 13.23}{4 \cdot 75} = \frac{1984.5}{300} \approx 6.62\) см

Ответ: \(BC = 13.23\) см, \(p = 19.12\) см, \(S = 75\) см², \(r = 3.92\) см, \(R = 6.62\) см.

Задача 5. Параллелограмм

Разбираемся: в параллелограмме противоположные углы равны, а сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°.

• Тупой угол \(\beta = 180° - \alpha = 180° - 60° = 120°\)

Для нахождения диагоналей \(d_1\) и \(d_2\) используем теорему косинусов:

• \(d_1^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\alpha) = 6^2 + 12^2 - 2 \cdot 6 \cdot 12 \cdot \cos(60°) = 36 + 144 - 144 \cdot 0.5 = 180 - 72 = 108\)
• \(d_1 = \sqrt{108} = 6\sqrt{3} \approx 10.39\) см
• \(d_2^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\beta) = 6^2 + 12^2 - 2 \cdot 6 \cdot 12 \cdot \cos(120°) = 36 + 144 - 144 \cdot (-0.5) = 180 + 72 = 252\)
• \(d_2 = \sqrt{252} = 6\sqrt{7} \approx 15.87\) см

Для нахождения высот используем формулу площади параллелограмма:

• \(S = a \cdot h_1 = b \cdot h_2\)
• Площадь параллелограмма: \(S = a \cdot b \cdot \sin(\alpha) = 6 \cdot 12 \cdot \sin(60°) = 72 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 36\sqrt{3} \approx 62.35\) см²
• \(h_1 = \frac{S}{a} = \frac{36\sqrt{3}}{6} = 6\sqrt{3} \approx 10.39\) см
• \(h_2 = \frac{S}{b} = \frac{36\sqrt{3}}{12} = 3\sqrt{3} \approx 5.20\) см

Ответ: \(\beta = 120°\), \(d_1 = 10.39\) см, \(d_2 = 15.87\) см, \(h_1 = 10.39\) см, \(h_2 = 5.20\) см, \(S = 62.35\) см².

Задача 6. Ромб

Разбираемся: в ромбе все стороны равны, а его площадь можно найти через радиус вписанной окружности и сторону.

• Площадь круга: \(S = \pi r^2 = 36\pi\) см²
• Радиус вписанной окружности: \(r = \sqrt{36} = 6\) см

Высота ромба равна двум радиусам вписанной окружности:

• \(h = 2r = 2 \cdot 6 = 12\) см

Сторону ромба можно найти, используя формулу площади:

• \(S = a \cdot h = a^2 \cdot \sin(\alpha)\)
• \(a = \frac{h}{\sin(\alpha)} = \frac{12}{\sin(120°)} = \frac{12}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{24}{\sqrt{3}} = 8\sqrt{3} \approx 13.86\) см

Диагонали ромба можно найти, используя теорему косинусов:

• \(d_1^2 = a^2 + a^2 - 2a^2 \cos(\alpha) = 2a^2(1 - \cos(\alpha)) = 2(8\sqrt{3})^2(1 - \cos(120°)) = 2 \cdot 192 \cdot (1 + 0.5) = 384 \cdot 1.5 = 576\)
• \(d_1 = \sqrt{576} = 24\) см
• \(d_2^2 = a^2 + a^2 - 2a^2 \cos(180° - \alpha) = 2a^2(1 - \cos(60°)) = 2(8\sqrt{3})^2(1 - 0.5) = 2 \cdot 192 \cdot 0.5 = 192\)
• \(d_2 = \sqrt{192} = 8\sqrt{3} \approx 13.86\) см

Площадь ромба:

• \(S = a \cdot h = 8\sqrt{3} \cdot 12 = 96\sqrt{3} \approx 166.28\) см²

Ответ: \(h = 12\) см, \(a = 13.86\) см, \(d_1 = 24\) см, \(d_2 = 13.86\) см, \(S = 166.28\) см².

Задача 7. Треугольник и трапеция

Разбираемся: средняя линия треугольника делит его площадь на четыре равные части. Площадь трапеции ADEB составляет \(\frac{3}{4}\) площади треугольника ABC.

• Площадь трапеции ADEB: \(S_{ADEB} = \frac{3}{4} \cdot S_{ABC} = \frac{3}{4} \cdot 16 = 12\) см²

Ответ: 12 см².

Задача 8. Вписанный угол

Разбираемся: вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.

• Вписанный угол опирается на \(\frac{3}{5}\) окружности, то есть на \(\frac{3}{5} \cdot 360° = 216°\)
• Вписанный угол равен половине дуги: \(\frac{216°}{2} = 108°\)

Ответ: 108°.