15. В треугольнике $$BCD$$ проведены медиана $$DM$$ и высота $$DH$$ (см. рис. 71). Известно, что $$BC = 88$$ и $$BD = DM$$. Найдите $$CH$$.

Для решения задачи необходимо воспользоваться свойствами медианы и высоты в треугольнике, а также теоремой Пифагора.

1. Т.к. $$DM$$ - медиана, то $$BM = MC = \frac{1}{2} BC$$. Т.к. $$BC = 88$$, то $$BM = MC = \frac{1}{2} \cdot 88 = 44$$.
2. Т.к. $$BD = DM$$, то $$\triangle BDM$$ - равнобедренный. Тогда $$\angle DBM = \angle DMB$$.
3. Пусть $$CH = x$$, тогда $$BH = BC - CH = 88 - x$$.
4. В $$\triangle BDH$$: $$BD^2 = BH^2 + DH^2$$.
5. В $$\triangle CDH$$: $$CD^2 = CH^2 + DH^2$$.
6. Т.к. $$DM$$ - медиана и $$BD = DM$$, то $$CD = BD = DM = 88$$.
7. Выразим $$DH^2$$ из $$\triangle BDH$$: $$DH^2 = BD^2 - BH^2 = 88^2 - (88 - x)^2$$.
8. Выразим $$DH^2$$ из $$\triangle CDH$$: $$DH^2 = CD^2 - CH^2 = 88^2 - x^2$$.
9. Приравняем выражения для $$DH^2$$: $$88^2 - (88 - x)^2 = 88^2 - x^2$$.
10. Раскроем скобки: $$88^2 - (88^2 - 176x + x^2) = 88^2 - x^2$$.
11. $$88^2 - 88^2 + 176x - x^2 = 88^2 - x^2$$.
12. $$176x - x^2 = 88^2 - x^2$$.
13. $$176x = 88^2$$.
14. $$x = \frac{88^2}{176} = \frac{88 \cdot 88}{176} = \frac{88}{2} = 44$$.
15. Таким образом, $$CH = 22$$.

Ответ: 22