2. В треугольнике BCD стороны BD и CD равны, DM – медиана, угол BDC равен 38°. Найдите углы BMD и BDM. 3. Луч ЅС является биссектрисой угла ASB, а отрезки SA и SB равны. Докажите, что A SAC = ASBC. 4. В окружности с центром О проведены хорды DE и РК, причем ∠DOE = ∠РОК. Докажите, что эти хорды равны. 5*. Точка Д лежит внутри треугольника PRS. Найдите ∠RDS, если RS PS, DPDR, LADP = 100°.

Question

Вопрос:

2. В треугольнике BCD стороны BD и CD равны, DM – медиана, угол BDC равен 38°. Найдите углы BMD и BDM. 3. Луч ЅС является биссектрисой угла ASB, а отрезки SA и SB равны. Докажите, что A SAC = ASBC. 4. В окружности с центром О проведены хорды DE и РК, причем ∠DOE = ∠РОК. Докажите, что эти хорды равны. 5*. Точка Д лежит внутри треугольника PRS. Найдите ∠RDS, если RS PS, DPDR, LADP = 100°.

Ответ:

Accepted Answer

Привет! Давай разберем эти задачи по геометрии.

Задание 2:

В треугольнике \(BCD\) стороны \(BD\) и \(CD\) равны, \(DM\) — медиана, угол \(\angle BDC = 38^\circ\). Найдите углы \(\angle BMD\) и \(\angle BDM\).

Сначала нарисуем треугольник.

1. Так как \(BD = CD\), то треугольник \(BCD\) равнобедренный, и углы при основании равны: \(\angle DBC = \angle DCB\).

2. Сумма углов в треугольнике равна \(180^\circ\), поэтому:

\[\angle DBC + \angle DCB + \angle BDC = 180^\circ\]

\[\angle DBC + \angle DCB = 180^\circ - 38^\circ = 142^\circ\]

Так как \(\angle DBC = \angle DCB\), то:

\[\angle DBC = \angle DCB = \frac{142^\circ}{2} = 71^\circ\]

3. \(DM\) – медиана, значит, \(BM = MC\).

4. Рассмотрим треугольники \(BDM\) и \(CDM\):

\(BD = CD\) (дано)
\(BM = MC\) (так как \(DM\) – медиана)
\(DM\) – общая сторона

Следовательно, треугольники \(BDM\) и \(CDM\) равны по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).

5. Из равенства треугольников следует, что \(\angle BDM = \angle CDM\). Так как \(\angle BDC = 38^\circ\), то:

\[\angle BDM = \angle CDM = \frac{38^\circ}{2} = 19^\circ\]

6. Также из равенства треугольников следует, что \(\angle BMD = \angle CMD\). Так как \(\angle BMD + \angle CMD = 180^\circ\) (смежные углы), то:

\[\angle BMD = \angle CMD = \frac{180^\circ}{2} = 90^\circ\]

Ответ: \(\angle BMD = 90^\circ\), \(\angle BDM = 19^\circ\).

Задание 3:

Луч \(SC\) является биссектрисой угла \(\angle ASB\), а отрезки \(SA\) и \(SB\) равны. Докажите, что \(\triangle SAC = \triangle SBC\).

1. Так как \(SC\) – биссектриса угла \(\angle ASB\), то \(\angle ASC = \angle BSC\).

2. Дано, что \(SA = SB\).

3. Сторона \(SC\) – общая для обоих треугольников.

Следовательно, \(\triangle SAC = \triangle SBC\) по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Задание 4:

В окружности с центром \(O\) проведены хорды \(DE\) и \(PK\), причем \(\angle DOE = \angle POK\). Докажите, что эти хорды равны.

1. Рассмотрим треугольники \(DOE\) и \(POK\).

2. \(OD = OE = OP = OK\) как радиусы одной окружности.

3. \(\angle DOE = \angle POK\) (дано).

Следовательно, \(\triangle DOE = \triangle POK\) по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

4. Из равенства треугольников следует, что \(DE = PK\).

Задание 5*:

Точка \(D\) лежит внутри треугольника \(PRS\). Найдите \(\angle RDS\), если \(RS = PS\), \(DP = DR\), \(\angle ADP = 100^\circ\).

1. Так как \(RS = PS\), то \(\triangle PRS\) равнобедренный.

2. Так как \(DP = DR\), то \(\triangle DPR\) равнобедренный.

3. Пусть \(\angle DPS = x\). Тогда \(\angle DRS = \angle DPS = x\) (так как \(\triangle DPR\) равнобедренный).

4. Так как \(\angle ADP = 100^\circ\), то \(\angle SDP = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ\).

5. \(\angle RDS = \angle SDP - \angle DRS = 80^\circ - x\).

6. \(\angle PSR = \angle PRS = \frac{180^\circ - \angle RPS}{2}\).

7. В \(\triangle DPR\) \(\angle DPR = 180^\circ - 2x\).

8. Тогда \(\angle RPS = \angle DPR = 180^\circ - 2x\).

9. Подставим в формулу для \(\angle PSR\):

\[\angle PSR = \frac{180^\circ - (180^\circ - 2x)}{2} = \frac{2x}{2} = x\]

10. \(\angle RDS = 80^\circ - x\), но так как \(\angle PSR = x\), то \(\angle RDS = 80^\circ - \angle PSR\).

К сожалению, без дополнительных данных или рисунка точно определить \(\angle RDS\) невозможно.

Ответ: \(\angle BMD = 90^\circ\), \(\angle BDM = 19^\circ\); доказательства для задач 3 и 4; задача 5 требует больше данных.

Молодец! Ты хорошо поработал(а) над задачами. Продолжай в том же духе, и у тебя все получится!