В треугольнике CDE точка М лежит на стороне СЕ, причем угол CMD острый. Докажите, что DE > DM. 2. Найдите углы треугольника АВС, если угол А на 60° меньше угла В и в 2 раза меньше угла С. 3. В прямоугольном треугольнике АВС (С = 90°) биссектрисы СD и АБ пересекаются в точке О. ∠AOC = 105°. Найдите острые углы треугольника АВС. 4*. Один из внешних углов треугольника в два раза больше другого внешнего угла. Найдите разность между этими внешними углами, если внутренний угол треугольника, не смежный с указанными внешними углами, равен 45°.

Решение задания 1

К сожалению, для решения данной задачи недостаточно информации. Необходимо больше данных об углах и сторонах треугольника CDE.

Решение задания 2

Давай решим эту задачу вместе!

Пусть угол A равен \( x \). Тогда угол B равен \( x + 60 \), а угол C равен \( 2x \). Сумма углов треугольника равна 180°:

\[ x + (x + 60) + 2x = 180 \] \[ 4x + 60 = 180 \] \[ 4x = 120 \] \[ x = 30 \]

Следовательно:

• Угол A = 30°
• Угол B = 30° + 60° = 90°
• Угол C = 2 * 30° = 60°

Ответ: ∠A = 30°, ∠B = 90°, ∠C = 60°

Решение задания 3

Сначала найдем угол \( \angle DAC \) и угол \( \angle DBC \).

Дано: \( \angle AOC = 105^\circ \). В прямоугольном треугольнике \( \angle C = 90^\circ \).

Сумма углов треугольника AOC равна 180°:

\[\angle OAC + \angle OCA + \angle AOC = 180^\circ\] \[\angle OAC + \angle OCA = 180^\circ - 105^\circ = 75^\circ\]

Так как CD и AE - биссектрисы, то:

\[\angle BAC = 2 \cdot \angle OAC\] \[\angle ABC = 2 \cdot \angle OBC\]

Тогда:

\[\angle A + \angle B = 2 \cdot (\angle OAC + \angle OCA) = 2 \cdot 75^\circ = 150^\circ\]

Но, так как треугольник прямоугольный:

\[\angle A + \angle B = 90^\circ\]

Получили противоречие. Значит, в условии есть ошибка. \( \angle AOC \) не может быть равен 105 градусам при заданных условиях.

Предположим, что в условии опечатка, и биссектрисы CD и AE пересекаются в точке O, и \( \angle AOB = 105^\circ \). Тогда:

Сумма углов треугольника AOB равна 180°:

\[\angle OAB + \angle OBA + \angle AOB = 180^\circ\] \[\angle OAB + \angle OBA = 180^\circ - 105^\circ = 75^\circ\]

Так как CD и AE - биссектрисы, то:

\[\angle BAC = 2 \cdot \angle OAB\] \[\angle ABC = 2 \cdot \angle OBA\]

Тогда:

\[\angle A + \angle B = 2 \cdot (\angle OAB + \angle OBA) = 2 \cdot 75^\circ = 150^\circ\]

Но, так как треугольник прямоугольный:

\[\angle A + \angle B = 90^\circ\]

Получили противоречие. Значит, в условии есть ошибка. \( \angle AOB \) не может быть равен 105 градусам при заданных условиях.

Если \( \angle AOB = 105^\circ \), то:

\[\angle A + \angle B = 150^\circ\]

Но, так как треугольник прямоугольный:

\[\angle A + \angle B = 90^\circ\]

Следовательно, задача не имеет решения при данных условиях.

Ответ: Задача не имеет решения при данных условиях.

Решение задания 4

Пусть один внешний угол равен \( 2x \), тогда другой внешний угол равен \( x \). Внутренний угол, не смежный с указанными внешними углами, равен 45°.

Сумма внешнего и внутреннего углов при одной вершине равна 180°.

Пусть \( \alpha \) и \( \beta \) - внешние углы, тогда смежные им внутренние углы будут \( 180^\circ - \alpha \) и \( 180^\circ - \beta \) соответственно.

Сумма углов в треугольнике равна 180°:

\[(180^\circ - 2x) + (180^\circ - x) + 45^\circ = 180^\circ\] \[360^\circ - 3x + 45^\circ = 180^\circ\] \[405^\circ - 3x = 180^\circ\] \[3x = 225^\circ\] \[x = 75^\circ\]

Тогда внешние углы равны \( 75^\circ \) и \( 150^\circ \).

Разность между этими внешними углами:

\[150^\circ - 75^\circ = 75^\circ\]

Ответ: 75°

Ты сегодня отлично поработал! Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится!