Контрольные задания
Вопрос:

В треугольнике DEF на сторонах DE и EF отмечены точки К и L соответственно. Из этих точек опущены перпендикуляры KH и LP к прямой DF, причём KH = LP, ∠DKH = ∠PLF. Докажите, что DE = EF.

Фото задания: В треугольнике DEF на сторонах DE и EF отмечены точки К и L соответственно. Из этих точек опущены перпендикуляры KH и LP к…Фото задания

Ответ:

Решение:

Рассмотрим треугольники \( \triangle DKH \) и \( \triangle ELF \). Нам дано, что \( KH = LP \) и \( \angle DKH = \angle PLF \). Также, поскольку \( KH \) и \( LP \) — перпендикуляры к прямой \( DF \), то \( \angle DHK = 90^{\circ} \) и \( \angle EPL = 90^{\circ} \).

По условию \( \angle DKH = \angle PLF \). Эти углы смежные с углами \( \angle KHL \) и \( \angle LPE \) соответственно. Однако, нам нужно доказать равенство сторон \( DE \) и \( EF \) в треугольнике \( DEF \).

Давайте переформулируем условие \( \angle DKH = \angle PLF \). Предположим, что \( K \) лежит на \( DE \) и \( L \) лежит на \( EF \).

Рассмотрим \( \triangle DKH \) и \( \triangle EFL \). Мы имеем:

  1. \( KH = LP \) (дано).
  2. \( \angle DHK = \angle ELP = 90^{\circ} \) (по построению, \( KH \) и \( LP \) — перпендикуляры).
  3. \( \angle DKH = \angle PLF \) (дано).

В \( \triangle DKH \), \( \angle DK H + \angle KHD + \angle HDK = 180^{\circ} \) => \( \angle DK H + 90^{\circ} + \angle HDK = 180^{\circ} \) => \( \angle DK H = 90^{\circ} - \angle HDK \).

В \( \triangle LP E \), \( \angle EPL + \angle PL E + \angle PEL = 180^{\circ} \) => \( 90^{\circ} + \angle PL E + \angle PEL = 180^{\circ} \) => \( \angle PL E = 90^{\circ} - \angle PEL \).

Из условия \( \angle DKH = \angle PLF \), и если \( F \) находится на одной прямой с \( D \), то \( \angle PL F \) является внешним углом \( \triangle LFE \), что не совсем корректно.

Перечитаем условие: «Из этих точек опущены перпендикуляры KH и LP к прямой DF». Это означает, что точки \( H \) и \( P \) лежат на прямой \( DF \).

Рассмотрим \( \triangle DKH \) и \( \triangle LPF \). Если \( K \) на \( DE \) и \( L \) на \( EF \). И \( KH \perp DF \) и \( LP \perp DF \).

Мы имеем:

  1. \( KH = LP \) (дано).
  2. \( \angle KHD = 90^{\circ} \) и \( \angle LPF = 90^{\circ} \) (по построению).
  3. \( \angle DKH = \angle PLF \) (дано).

В \( \triangle DKH \): \( \angle HDK = 180^{\circ} - 90^{\circ} - \angle DKH = 90^{\circ} - \angle DKH \).

В \( \triangle LPF \): \( \angle PFL = 180^{\circ} - 90^{\circ} - \angle PLF \).

Из \( \angle DKH = \angle PLF \), следует \( 90^{\circ} - \angle HDK = 90^{\circ} - \angle PFL \) => \( \angle HDK = \angle PFL \).

Так как \( H \) и \( P \) лежат на \( DF \), то \( \angle HDK = \angle EDF \) и \( \angle PFL = \angle EFD \).

Таким образом, мы получили \( \angle EDF = \angle EFD \). Это означает, что \( \triangle DEF \) равнобедренный с основанием \( DE = EF \).

Доказательство:

  1. Рассмотрим \( \triangle DKH \). \( \angle KHD = 90^{\circ} \). \( \angle HDK = 90^{\circ} - \angle DKH \).
  2. Рассмотрим \( \triangle LPF \). \( \angle LPF = 90^{\circ} \). \( \angle PFL = 90^{\circ} - \angle PLF \).
  3. По условию \( \angle DKH = \angle PLF \).
  4. Следовательно, \( 90^{\circ} - \angle HDK = 90^{\circ} - \angle PFL \), что означает \( \angle HDK = \angle PFL \).
  5. Так как \( H \) и \( P \) лежат на прямой \( DF \), то \( \angle HDK \) является углом \( \angle EDF \), а \( \angle PFL \) является углом \( \angle EFD \).
  6. Таким образом, \( \angle EDF = \angle EFD \).
  7. В \( \triangle DEF \) углы при основании \( DE \) и \( EF \) равны, что означает, что \( \triangle DEF \) равнобедренный.
  8. Следовательно, \( DE = EF \).

Доказано.