В треугольнике DF R провели прямую, параллельную стороне F R так, что она пересекает стороны DF и DR в точках S и Q, соответственно. Найди длину стороны DF и площадь треугольника DF R, если площадь треугольника DSQ равна 30 см², SQ = 5 см, DS = 12 см, FR = 20 см. Запиши в полях ответа верные числа. DF = см SDFR = см²

Рассмотрим решение данной задачи.

Так как SQ || FR, то треугольник DSQ подобен треугольнику DFR (по двум углам: ∠D общий, ∠DSQ = ∠DFR как соответственные при SQ || FR и секущей DF).

Запишем отношение сходственных сторон:

$$ \frac{DS}{DF} = \frac{SQ}{FR} $$

Подставим известные значения:

$$ \frac{12}{DF} = \frac{5}{20} $$

Выразим DF:

$$ DF = \frac{12 \times 20}{5} = 48 \text{ см} $$

Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия:

$$ \frac{S_{DSQ}}{S_{DFR}} = (\frac{SQ}{FR})^2 $$

Подставим известные значения:

$$ \frac{30}{S_{DFR}} = (\frac{5}{20})^2 = (\frac{1}{4})^2 = \frac{1}{16} $$

Выразим площадь треугольника DFR:

$$ S_{DFR} = 30 \times 16 = 480 \text{ см}^2 $$

Запишем ответ.

Ответ:

DF = 48 см

SDFR = 480 см²