1. В треугольнике два угла равны 57° и 86°. Найдите его третий угол. Ответ дайте в градусах. 2. Углы треугольника АВС относятся так: СА: ∠B : ∠C= 1:2: 3. Биссектриса ВМ угла АВС равна 12. Найдите длину отрезка МС.

Ответ: 37

1. Шаг 1: Найдем сумму двух известных углов.

   \[57^{\circ} + 86^{\circ} = 143^{\circ}\]

2. Шаг 2: Найдем третий угол, вычитая сумму двух углов из 180 градусов.

   \[180^{\circ} - 143^{\circ} = 37^{\circ}\]

3. Шаг 3: Ответ.

   Третий угол равен 37°.

Ответ: 37

Ответ: 8

1. Шаг 1: Определение углов треугольника.

   Пусть углы треугольника ABC будут \[\angle A = x\], \[\angle B = 2x\] и \[\angle C = 3x\].

2. Шаг 2: Сумма углов треугольника.

   Сумма углов в треугольнике равна 180 градусам:

   \[x + 2x + 3x = 180^{\circ}\]

   \[6x = 180^{\circ}\]

   \[x = 30^{\circ}\]

3. Шаг 3: Вычисление углов треугольника.

   \[\angle A = 30^{\circ}\]

   \[\angle B = 2 \cdot 30^{\circ} = 60^{\circ}\]

   \[\angle C = 3 \cdot 30^{\circ} = 90^{\circ}\]

4. Шаг 4: Рассмотрение треугольника ABM.

   Так как BM - биссектриса угла B, то \[\angle ABM = \frac{1}{2} \cdot \angle B = \frac{1}{2} \cdot 60^{\circ} = 30^{\circ}\]

5. Шаг 5: Нахождение угла BMA.

   В треугольнике ABM \[\angle BMA = 180^{\circ} - \angle A - \angle ABM = 180^{\circ} - 30^{\circ} - 30^{\circ} = 120^{\circ}\]

6. Шаг 6: Нахождение угла BMC.

   \[\angle BMC = 180^{\circ} - \angle BMA = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}\]

7. Шаг 7: Рассмотрение треугольника BMC.

   В треугольнике BMC известны \[\angle BMC = 60^{\circ}\] и \[\angle C = 90^{\circ}\]

   Следовательно, \[\angle MBC = 180^{\circ} - 60^{\circ} - 90^{\circ} = 30^{\circ}\]

8. Шаг 8: Вывод о типе треугольника BMC.

   Так как один из углов треугольника BMC равен 30 градусам, а другой 90, то это особый прямоугольный треугольник, где катет, лежащий напротив угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы.

9. Шаг 9: Нахождение MC.

   MC - катет, лежащий напротив угла в 30 градусов, а BM - гипотенуза. Тогда \[MC = \frac{1}{2} \cdot BM = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6\]

Ответ: 6