В треугольнике EFН медиана ЕК перпендикулярна стороне FН. Какое наибольшее значение может иметь длина стороны данного треугольника, если его периметр равен 45 см, а одна из сторон равна 13 см?

Обозначим стороны треугольника как EF, FH и HE. Пусть FH – основание, а EK – медиана, проведенная к этому основанию. Так как EK перпендикулярна FH, треугольник EFH – равнобедренный, то есть EF = HE.

Из условия задачи известно, что одна из сторон равна 13 см. Рассмотрим два случая:

• Случай 1: EF = HE = 13 см. Тогда периметр треугольника EFH равен EF + FH + HE = 13 + FH + 13 = 26 + FH = 45 см. Следовательно, FH = 45 - 26 = 19 см.
• Случай 2: FH = 13 см. Тогда периметр треугольника EFH равен EF + FH + HE = EF + 13 + EF = 2EF + 13 = 45 см. Следовательно, 2EF = 45 - 13 = 32 см, и EF = HE = 16 см.

Теперь нужно проверить выполнение неравенства треугольника для обоих случаев:

• Для сторон 13, 13, 19: 13 + 13 > 19 (26 > 19) – неравенство выполняется.
• Для сторон 16, 16, 13: 16 + 16 > 13 (32 > 13) – неравенство выполняется.

Найдем наибольшую сторону в каждом из случаев:

• В первом случае наибольшая сторона – 19 см.
• Во втором случае наибольшая сторона – 16 см.

Так как нам нужно наибольшее значение стороны, выбираем 19 см.