В треугольнике KLM известно, что сторона KL = 6 см, сторона КМ = 9 см, а угол LKM = 60°. а) Найдите длину стороны LM. б) Найдите синус угла KLM.

Решение:

а) Найдем длину стороны LM.

Воспользуемся теоремой косинусов:

\( LM^2 = KL^2 + KM^2 - 2 \cdot KL \cdot KM \cdot \cos LKM \)

\( LM^2 = 6^2 + 9^2 - 2 \cdot 6 \cdot 9 \cdot \cos 60^{\circ} \)

\( LM^2 = 36 + 81 - 108 \cdot \frac{1}{2} \)

\( LM^2 = 117 - 54 = 63 \)

\( LM = \sqrt{63} = \sqrt{9 \cdot 7} = 3 \sqrt{7} \) см.

б) Найдем синус угла KLM.

Воспользуемся теоремой синусов:

\( \frac{LM}{\sin LKM} = \frac{KM}{\sin KLM} \)

\( \frac{3 \sqrt{7}}{\sin 60^{\circ}} = \frac{9}{\sin KLM} \)

\( \sin KLM = \frac{9 \cdot \sin 60^{\circ}}{3 \sqrt{7}} = \frac{9 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{3 \sqrt{7}} = \frac{9 \sqrt{3}}{6 \sqrt{7}} = \frac{3 \sqrt{3}}{2 \sqrt{7}} = \frac{3 \sqrt{21}}{14} \)

Ответ: а) \( 3 \sqrt{7} \) см; б) \( \frac{3 \sqrt{21}}{14} \).