В треугольнике KLM величины углов при вершинах К и М равны соответственно 45° и 30°. Высота, проведённая из третьей вершины, опускается в точку Н стороны КМ. Длина стороны LM составляет 41 см. Выразите в миллиметрах длину отрезка НК.

Анализ задачи:

• У нас есть треугольник KLM.
• Угол K = 45°, угол M = 30°.
• LH - высота, опущенная на сторону KM.
• LM = 41 см.
• Нужно найти длину отрезка НК.

Решение:

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник LHM. Угол LHM = 90°, угол M = 30°, угол HLM = 180° - 90° - 30° = 60°.
2. В этом треугольнике мы знаем гипотенузу LM = 41 см.
3. Найдем длину высоты LH, используя синус угла M:
   \( LH = LM \cdot \sin(M) \)
   \( LH = 41 \cdot \sin(30^{\circ}) \)
   \( LH = 41 \cdot 0.5 = 20.5 \) см.
4. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник LHK. Угол LHK = 90°, угол K = 45°, угол HLK = 180° - 90° - 45° = 45°.
5. Так как углы HLK и K равны, треугольник LHK является равнобедренным прямоугольным треугольником. Следовательно, LH = HK.
6. Из предыдущего шага мы знаем, что LH = 20.5 см.
7. Значит, HK = 20.5 см.
8. Переведем сантиметры в миллиметры:
   20.5 см * 10 мм/см = 205 мм.

Ответ: 205 мм