В треугольнике KNM: ∠KNM = 90°, ∠KMN = 35°, ∠NKP = 10°, ∠SNM = 20°. Точки P и S лежат соответственно на NM и KM. Найти ∠PSM.

Расположим точки в координатах: \(N=(0,0)\), \(M=(1,0)\). Так как \(\angle KNM=90^\circ\) и \(\angle KMN=35^\circ\), можно взять \(K=(0,\tan35^\circ)\).

1. Луч \(KP\) образует с вертикалью угол \(10^\circ\), поэтому его пересечение с осью \(NM\) имеет координату \(P=(\tan35^\circ\tan10^\circ,0)\).
2. Луч \(NS\) образует с \(NM\) угол \(20^\circ\), поэтому его уравнение: \(y=x\tan20^\circ\).
3. Прямая \(KM\) имеет уравнение \(y=\tan35^\circ(1-x)\). Отсюда для точки \(S\):
   \[x_S=\frac{\tan35^\circ}{\tan35^\circ+\tan20^\circ},\qquad y_S=x_S\tan20^\circ.\]
4. Вычисляя угол между векторами \(\overrightarrow{SP}\) и \(\overrightarrow{SM}\), получаем:
   \[\angle PSM\approx120.86^\circ.\]

Ответ: \(\angle PSM\approx120.9^\circ\) (примерно \(120^\circ52'\)).