В треугольнике КPN высота РМ делит основание KN так, что KM: MN = 7:4. Определи соотношение площадей SKPN / SPMN.

Решение:

Площадь треугольника вычисляется по формуле: \( S = \frac{1}{2} \times основание \times высота \).

Для треугольника KPN основанием является KN, а высотой — PM. Площадь треугольника KPN равна:

\( S_{KPN} = \frac{1}{2} \times KN \times PM \)

Основание KN состоит из двух отрезков: KM и MN. Следовательно, \( KN = KM + MN \).

Нам дано соотношение \( KM : MN = 7 : 4 \). Пусть \( KM = 7x \) и \( MN = 4x \). Тогда \( KN = 7x + 4x = 11x \).

Площадь треугольника SPMN равна:

\( S_{SPMN} = \frac{1}{2} \times MN \times PM \)

Теперь найдём соотношение площадей \( \frac{S_{KPN}}{S_{SPMN}} \):

\( \frac{S_{KPN}}{S_{SPMN}} = \frac{\frac{1}{2} \times KN \times PM}{\frac{1}{2} \times MN \times PM} \)

Сокращаем \( \frac{1}{2} \) и \( PM \):

\( \frac{S_{KPN}}{S_{SPMN}} = \frac{KN}{MN} \)

Подставляем значения \( KN = 11x \) и \( MN = 4x \):

\( \frac{S_{KPN}}{S_{SPMN}} = \frac{11x}{4x} = \frac{11}{4} \)

Таким образом, соотношение площадей \( S_{KPN} : S_{SPMN} \) равно \( 11 : 4 \).

Ответ: 11 : 4