В треугольнике КРЕ известно, что ∠Р = 90°, ∠К = 60°. На катете РЕ отметили такую точку М, что ∠КМР = 60°. Найдите РМ, если ЕМ = 16 см.

Решение:

В треугольнике КРЕ: \( ∠ P = 90° \), \( ∠ K = 60° \). Сумма углов в треугольнике равна 180°, поэтому \( ∠ E = 180° - 90° - 60° = 30° \).

Рассмотрим треугольник КМР: \( ∠ P = 90° \), \( ∠ KMP = 60° \). Следовательно, \( ∠ K = 180° - 90° - 60° = 30° \).

В треугольнике КМР катет РМ лежит напротив угла \( ∠ K = 30° \). В прямоугольном треугольнике катет, противолежащий углу в 30°, равен половине гипотенузы. Значит, \( PM = \frac{1}{2} KP \).

Рассмотрим треугольник КРЕ. Катет РЕ лежит напротив угла \( ∠ K = 60° \). Катет РЕ = \( KP \sin(60°) = KP · \frac{\sqrt{3}}{2} \).

В треугольнике КМР, катет РМ лежит напротив угла \( ∠ K = 30° \), значит \( PM = KP \sin(30°) = KP · \frac{1}{2} \).

Также в треугольнике КМР, катет РМ прилегает к углу \( ∠ KMP = 60° \). Значит, \( PM = MP \tan(30°) = MP · \frac{1}{\sqrt{3}} \). Неверно.

В треугольнике КМР: \( ∠ P = 90°, ∠ KMP = 60°, ∠ K = 30° \).

Найдем РЕ в треугольнике КРЕ: \( PE = KP \tan(60°) = KP · \sqrt{3} \).

В треугольнике КМР: \( PM = KP \cos(60°) = KP · \frac{1}{2} \).

EM = PE - PM = \( KP · \sqrt{3} - KP · \frac{1}{2} = KP (\sqrt{3} - \frac{1}{2}) \).

EM = 16 см.

16 = \( KP (\sqrt{3} - \frac{1}{2}) \) => \( KP = \frac{16}{\sqrt{3} - 0.5} \).

PM = \( KP · \frac{1}{2} = \frac{16}{\sqrt{3} - 0.5} · \frac{1}{2} = \frac{8}{\sqrt{3} - 0.5} \).

\( PM = \frac{8}{1.732 - 0.5} = \frac{8}{1.232} ± 6.49 \).

Другой способ:

В треугольнике КРЕ: \( ∠ P = 90°, ∠ K = 60°, ∠ E = 30° \).

В треугольнике КМР: \( ∠ P = 90°, ∠ KMP = 60°, ∠ K = 30° \).

Из \( ∠ K = 30° \) в треугольнике КМР, следует, что \( PM = \frac{KM}{ √ 3} \).

Также \( PE = KP · √ 3 \) и \( PM = KP · \frac{1}{2} \).

\( PE = PM + ME \)

\( KP · √ 3 = KP · \frac{1}{2} + 16 \)

\( KP · √ 3 - KP · \frac{1}{2} = 16 \)

\( KP ( √ 3 - \frac{1}{2} ) = 16 \)

\( KP = \frac{16}{ √ 3 - 0.5} \).

\( PM = KP · \frac{1}{2} = · \frac{16}{ √ 3 - 0.5} · \frac{1}{2} = \frac{8}{ √ 3 - 0.5} ± 6.49 \).

Ответ: 8 / (√3 - 0.5) см.