В треугольнике КРЕ известно, что ∠Р = 90°, ∠К = 60°. На катете РЕ отметили такую точку М, что ∠КМР = 60°. Найдите РМ, если ЕМ = 16 см.

Решение:

1. В треугольнике КРЕ: \( \angle P = 90^{\circ} \), \( \angle K = 60^{\circ} \). Тогда \( \angle E = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ} \).

2. В треугольнике КМР: \( \angle P = 90^{\circ} \), \( \angle KMP = 60^{\circ} \). Тогда \( \angle MKP = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ} \).

3. Из \( \angle MKP = 30^{\circ} \) и \( \angle K = 60^{\circ} \) следует, что \( \angle MKP \) и \( \angle K \) не могут быть углами одного треугольника, значит, точка М находится на катете РЕ.

4. Рассмотрим треугольник КМЕ. \( \angle KME = 180^{\circ} - \angle KMP = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ} \).

5. В треугольнике КРЕ: \( \tan K = \frac{PE}{PR} \) → \( PE = PR \cdot \tan 60^{\circ} = PR \sqrt{3} \).

6. В треугольнике КМР: \( \tan KMP = \frac{PR}{PM} \) → \( PR = PM \cdot \tan 60^{\circ} = PM \sqrt{3} \).

7. Подставим \( PR \) из п.6 в п.5: \( PE = (PM \sqrt{3}) \sqrt{3} = 3 PM \).

8. Мы знаем, что \( PE = PM + ME \). Подставляем значения:

\( 3 PM = PM + 16 \)

\( 2 PM = 16 \)

\( PM = 8 \) см.

Ответ: 8