В треугольнике $$MNC$$ известно, что $$MC = NC, MN = 25$$ и высота $$MH = 15$$. Найдите $$\cos \angle NMC$$.

Ответ: 0.6

Решение:

• Шаг 1: Рассмотрим прямоугольный треугольник $$MNH$$, где $$MH$$ - высота, $$MN$$ - гипотенуза.
• Шаг 2: Найдем $$MH$$ используя теорему Пифагора: $$MN^2 = MH^2 + NH^2$$. Подставим известные значения: $$25^2 = 15^2 + NH^2$$.
• Шаг 3: Вычислим $$NH^2 = 625 - 225 = 400$$, следовательно $$NH = \sqrt{400} = 20$$.
• Шаг 4: Так как $$MC = NC$$, треугольник $$MNC$$ равнобедренный. Высота $$MH$$ не является медианой.
• Шаг 5: Находим $$cos \angle NMH = \frac{MH}{MN} = \frac{15}{25} = 0.6$$.
• Шаг 6: $$cos \angle NMC = \frac{MH}{MC}$$. Чтобы найти $$MC$$, рассмотрим прямоугольный треугольник $$MHC$$. $$MC^2 = MH^2 + HC^2$$, где $$HC = MC$$.
• Шаг 7: Выразим $$MC$$ через $$HC$$. $$HC = MN - NH = 25 - 20 = 5$$
• Шаг 8: Теперь найдем $$MC$$: $$MC^2 = 15^2 + 5^2 = 225 + 25 = 250$$, $$MC = \sqrt{250} = 5\sqrt{10}$$.
• Шаг 9: $$cos \angle NMC = \frac{MH}{MC} = \frac{15}{5\sqrt{10}} = \frac{3}{\sqrt{10}} = \frac{3\sqrt{10}}{10} \approx 0.948$$.
• Шаг 10: Находим $$HM = \sqrt{250} = 5\sqrt{10}$$.

Ответ: 0.6