5. В треугольнике MNF известно, что ∠N=90°, ∠M = 30°, отрезок FD – биссектриса треугольника. Найдите катет MN, если FD = 20 см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник MNF с ∠N = 90° и ∠M = 30°. Отрезок FD является биссектрисой угла NFM.

1. Найдем угол NFM (∠F) в треугольнике MNF:

Сумма углов в треугольнике равна 180°. Следовательно, ∠F = 180° - ∠N - ∠M = 180° - 90° - 30° = 60°.

2. Так как FD – биссектриса угла NFM, то она делит угол NFM пополам. Значит, ∠DFM = ∠NFD = ∠F / 2 = 60° / 2 = 30°.

3. Рассмотрим треугольник DFM. В нем ∠DFM = 30° и ∠FMD = 30°. Следовательно, треугольник DFM – равнобедренный, и DM = FD = 20 см.

4. В прямоугольном треугольнике MNF катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы. Таким образом, MN = MF / 2.

5. Найдем MF. В прямоугольном треугольнике MNF:

$$ sin M = \frac{NF}{MF} $$ $$ sin 30° = \frac{NF}{MF} $$ $$ \frac{1}{2} = \frac{NF}{MF} $$

Следовательно, MF = 2 * NF.

6. Также, в прямоугольном треугольнике MNF:

$$ tg M = \frac{NF}{MN} $$ $$ tg 30° = \frac{NF}{MN} $$ $$ \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{NF}{MN} $$

Следовательно, MN = NF / (√3/3) = NF * (3/√3) = NF * √3.

7. Выразим NF через MN:

$$ NF = \frac{MN}{\sqrt{3}} $$

8. Подставим NF в выражение для MF:

$$ MF = 2 * NF = 2 * \frac{MN}{\sqrt{3}} $$

9. Также, MD = MF - DF. Значит, MF = MD + DF = 20 + MN.

10. Приравняем два выражения для MF:

$$ 2 * \frac{MN}{\sqrt{3}} = 20 + MN $$ $$ 2MN = 20\sqrt{3} + MN\sqrt{3} $$ $$ 2MN - MN\sqrt{3} = 20\sqrt{3} $$ $$ MN(2 - \sqrt{3}) = 20\sqrt{3} $$ $$ MN = \frac{20\sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}} $$

11. Домножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение (2 + √3):

$$ MN = \frac{20\sqrt{3} * (2 + \sqrt{3})}{(2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3})} = \frac{20\sqrt{3} * (2 + \sqrt{3})}{4 - 3} = \frac{20\sqrt{3} * (2 + \sqrt{3})}{1} = 20\sqrt{3} * (2 + \sqrt{3}) = 20 * (2\sqrt{3} + 3) = 40\sqrt{3} + 60 $$

12. MN ≈ 40 * 1,732 + 60 = 69,28 + 60 = 129,28

Ответ: MN ≈ 129,28 см.