5. В треугольнике MNF известно, что ∠N = 90°, ∠M = 30°, отрезок FD - биссектриса треугольника. Найдите катет MN, если FD = 20 см.

В прямоугольном треугольнике MNF угол N равен 90°, угол M равен 30°. Значит, угол F равен 180° - 90° - 30° = 60°. FD - биссектриса угла F, следовательно, угол NFD равен углу MFD и равен 60° / 2 = 30°. Рассмотрим треугольник NFD. В этом треугольнике угол N равен 90°, угол NFD равен 30°. Следовательно, треугольник NFD - прямоугольный. В прямоугольном треугольнике катет, лежащий напротив угла в 30°, равен половине гипотенузы. В треугольнике NFD катет ND лежит напротив угла NFD, равного 30°. Гипотенуза FD равна 20 см. Следовательно, ND = FD / 2 = 20 / 2 = 10 см. Угол M = углу NFD = 30°, следовательно, треугольник MNF - равнобедренный, MN = NF. В прямоугольном треугольнике NFD $$NF = FD*cos(30)$$. Получается $$NF = 20 * \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3}$$. Следовательно MN = $$10\sqrt{3}$$