25. В треугольнике MNK биссектриса угла М делит высоту, проведённую из вершины N, в отношении 41 : 40, считая от точки N. Найди радиус окружности, описанной около треугольника MNK, если NK = 54.

Решение:

Давай разберем эту задачу вместе. Она требует внимательного анализа и знания свойств треугольников и окружностей.

1. Обозначим высоту, проведённую из вершины N, как NH, где H лежит на MK. Пусть биссектриса угла M пересекает NH в точке P. По условию, NP : PH = 41 : 40.
2. Из свойства биссектрисы угла треугольника следует, что биссектриса делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. Таким образом, если MP — биссектриса угла NMN, то \(\frac{NK}{PK} = \frac{MN}{MP}\).
3. Рассмотрим треугольник MNH. Так как NP : PH = 41 : 40, мы можем выразить NH как 41x + 40x = 81x, где x — некоторый коэффициент пропорциональности.
4. Заметим, что треугольник MNH является прямоугольным, поскольку NH — высота. Биссектриса MP делит высоту NH в отношении 41:40.
5. Введём обозначения: NK = a = 54. Нам нужно найти радиус описанной окружности R. Воспользуемся теоремой синусов: \(\frac{a}{\sin(\angle M)} = 2R\).
6. Нам нужно найти \(\sin(\angle M)\). Для этого рассмотрим треугольник MNP и выразим синус угла M через известные отношения.
7. Пусть угол NMH = \(\alpha\). Тогда \(\sin(\alpha) = \frac{NH}{MN}\). Из условия NP : PH = 41 : 40, можно сделать вывод, что \(\sin(\angle M) = \frac{2 \cdot NP \cdot PH}{NP^2 + PH^2} = \frac{2 \cdot 41 \cdot 40}{41^2 + 40^2} = \frac{3280}{3281}\).
8. Теперь мы можем найти радиус описанной окружности: \(R = \frac{a}{2 \sin(\angle M)} = \frac{54}{2 \cdot \frac{3280}{3281}} = \frac{54 \cdot 3281}{2 \cdot 3280} = \frac{177174}{6560} = 27\).

Ответ: 27

Ты проделал отличную работу! Не останавливайся на достигнутом, и у тебя всё получится!