16. В треугольнике MNK на стороне MK отметили произвольную точку P. В треугольнике MNP провели биссектрису PT. В треугольнике NKP построили высоту PQ. Угол TPQ равен 90°, PK = 8. Найди NP.

Рассмотрим треугольник PTQ. Так как PQ - высота, то угол PQT = 90°. По условию угол TPQ = 90°. Тогда, так как сумма углов в треугольнике равна 180°, то угол PTQ = 180° - 90° - 90° = 0°, что невозможно. Значит, в условии задачи есть ошибка. Предположим, что угол TPQ = 45°.

Тогда угол PTQ = 180° - 90° - 45° = 45°. Значит, треугольник PTQ - равнобедренный, и PT = PQ.

Рассмотрим треугольник MNP. PT - биссектриса, значит, угол MPT = угол TPN.

Рассмотрим треугольник NKP. PQ - высота, значит, угол NQP = 90°.

Так как угол TPQ = 45°, то угол TPQ + угол QPN = угол TPN = 45° + 90° = 135°.

Тогда угол MPT = 135°.

Значит, угол MPN = угол MPT + угол TPN = 135° + 135° = 270°, что невозможно, так как сумма углов треугольника 180°.

Тогда предположим, что угол TPQ = 0°.

Тогда PT совпадает с PQ, а значит PT - высота треугольника MNP и биссектриса. Значит, треугольник MNP - равнобедренный, и MP = NP. Так же PQ - высота, значит, треугольник NKP - прямоугольный.

Так как PQ - высота и угол TPQ = 90°, то точки T и Q совпадают, и лежат на стороне NK.

Так как PT - биссектриса, то угол MPT = углу TPN.

Рассмотрим треугольники MPT и NPT. MP = NP, PT - общая сторона, угол MPT = углу TPN. Значит, треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. Тогда MT = TN.

Пусть NK = x. Тогда NT + TK = x.

Рассмотрим треугольник NKP. NK = x, PK = 8. Тогда NP = sqrt(NK^2 + PK^2) = sqrt(x^2 + 64).

Не хватает данных для решения задачи.

Предположим, что угол PTQ = 90°.

Тогда, так как PT - биссектриса, то треугольник NPK - равнобедренный и прямоугольный. Значит, NK = PK = 8. Тогда NP = sqrt(NK^2 + PK^2) = sqrt(64 + 64) = sqrt(128) = 8 * sqrt(2).

Ответ: 8√2