В треугольнике MNK проведены медиана NP и высота NH. Известно, что MH = 63, NK = NP . Найди длину стороны MK.

Решение:

• Пусть NK = NP = x, тогда PK = MP = y.
• MK = MP + PK = 2y.
• Рассмотрим треугольник NPK, он равнобедренный, так как NK = NP.
• Следовательно, углы NKP и NPK равны.
• Рассмотрим треугольник MNH, он прямоугольный, так как NH - высота.
• Тогда угол MNH = 90 градусов.
• Рассмотрим треугольник MNK.
• Сумма углов в треугольнике равна 180 градусов.
• Угол MNK + угол NKM + угол KMN = 180 градусов.
• Рассмотрим треугольник NHP.
• Он прямоугольный, так как NH - высота.
• Тогда угол NPH + угол PNH = 90 градусов.
• Угол NPH = углу NKM, так как треугольник NPK - равнобедренный.
• Следовательно, угол PNH = 90 градусов - угол NKM.
• Рассмотрим треугольник MNH.
• Угол MNH = 90 градусов.
• Тогда угол HNM + угол NMH = 90 градусов.
• Угол HNM = углу PNH = 90 градусов - угол NKM.
• Следовательно, угол NMH = 90 градусов - (90 градусов - угол NKM) = угол NKM.
• Таким образом, угол NMH = углу NKM.
• Следовательно, треугольник MNK - равнобедренный.
• Тогда MK = NK = x.
• Так как MH = 63, то HK = MK - MH = x - 63.
• Рассмотрим треугольник NHK.
• Он прямоугольный, так как NH - высота.
• Тогда NK^2 = NH^2 + HK^2.
• x^2 = NH^2 + (x - 63)^2.
• NH^2 = x^2 - (x - 63)^2.
• NH^2 = x^2 - (x^2 - 126x + 3969).
• NH^2 = 126x - 3969.

По условию NK = NP, а значит MK = NK.

MK = 2 * MH = 2 * 63 = 126.

Ответ: 126