В треугольнике MNP медиана NK в два раза меньше стороны MN и образует с ней угол в 40°. Найдите угол MNP.

Пусть точка N — начало координат, а вектор \(\overrightarrow{NM}\) имеет длину \(a\). Тогда \(NK=a/2\), а угол между \(NM\) и \(NK\) равен 40°.

1. Так как K — середина MP, точка P получается из равенства \(\overrightarrow{NP}=2\overrightarrow{NK}-\overrightarrow{NM}\).
2. При выборе направления NK по одну сторону от NM получаем направление NP под углом 110° к NM: его компоненты пропорциональны \((\cos 40°-1,\sin 40°)\).

Следовательно, угол между лучами NM и NP равен 110°. При расположении K по другую сторону от NM результат для внутреннего угла тот же.

Ответ: 110°.