5. В треугольнике $$MNP$$ $$MN = 10$$ см, $$MP = 8$$ см, $$NP = 6$$ см. Найдите площадь треугольника $$MNP$$ и высоту $$PK$$, проведенную к стороне $$MN$$.

Рассмотрим задачу по геометрии, в которой требуется найти площадь треугольника и высоту, проведенную к одной из его сторон.

1. Анализ условия задачи.

   Дан треугольник $$MNP$$ со сторонами $$MN = 10$$ см, $$MP = 8$$ см и $$NP = 6$$ см. Необходимо найти площадь треугольника $$MNP$$ и длину высоты $$PK$$, проведенной к стороне $$MN$$.

2. Решение задачи.

   1. Шаг 1: Проверим, является ли треугольник прямоугольным, используя теорему Пифагора.

      Если треугольник прямоугольный, то квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. В нашем случае, если $$MN$$ - гипотенуза, то должно выполняться равенство:

      $$MN^2 = MP^2 + NP^2$$

      Подставим значения:

      $$10^2 = 8^2 + 6^2$$

      $$100 = 64 + 36$$

      $$100 = 100$$

      Так как равенство выполняется, треугольник $$MNP$$ является прямоугольным с гипотенузой $$MN$$ и катетами $$MP$$ и $$NP$$.

   2. Шаг 2: Найдем площадь треугольника $$MNP$$ как половину произведения катетов.

      $$S = \frac{1}{2} \cdot MP \cdot NP$$

      Подставим значения:

      $$S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 6$$

      $$S = \frac{1}{2} \cdot 48$$

      $$S = 24 \text{ см}^2$$

   3. Шаг 3: Найдем высоту $$PK$$, проведенную к стороне $$MN$$, используя формулу площади треугольника.

      $$S = \frac{1}{2} \cdot MN \cdot PK$$

      Выразим $$PK$$:

      $$PK = \frac{2S}{MN}$$

      Подставим значения:

      $$PK = \frac{2 \cdot 24}{10}$$

      $$PK = \frac{48}{10}$$

      $$PK = 4.8 \text{ см}$$

Ответ: Площадь треугольника $$MNP$$ равна $$24 \text{ см}^2$$, а высота $$PK$$, проведенная к стороне $$MN$$, равна $$4.8$$ см.