5. В треугольнике MNP MN = 9 см, MP = 4 см, NP = 11 см. Найти площадь треугольника MNP и высоту PK, проведенную к стороне MN.

Для нахождения площади треугольника MNP воспользуемся формулой Герона: $$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$, где $$p$$ - полупериметр треугольника, $$a, b, c$$ - длины сторон треугольника. В нашем случае $$a = 9, b = 4, c = 11$$. Полупериметр $$p = (9 + 4 + 11) / 2 = 24 / 2 = 12$$ см. Площадь треугольника $$S = \sqrt{12(12-9)(12-4)(12-11)} = \sqrt{12 * 3 * 8 * 1} = \sqrt{288} = 12\sqrt{2}$$ см^2. Теперь найдем высоту PK, проведенную к стороне MN. Площадь треугольника также можно выразить как $$S = (1/2) * MN * PK$$. Отсюда $$PK = (2 * S) / MN = (2 * 12\sqrt{2}) / 9 = (24\sqrt{2}) / 9 = (8\sqrt{2}) / 3$$ см. Ответ: Площадь треугольника $$12\sqrt{2}$$ см^2, высота PK = $$(8\sqrt{2}) / 3$$ см.