В треугольнике MNP проведена медиана MF, на которой взята точка O, причём MO : OF = 1 : 3. Найди отношение, в котором прямая, проходящая через точку O параллельно стороне MP, делит сторону PN.

Так как MF — медиана, точка F является серединой PN, поэтому PF = FN.

Проведём через O прямую, параллельную MP, и обозначим точку её пересечения с PN через E. В треугольнике FMP отрезок OE параллелен MP, значит, треугольники FOE и FMP подобны.

Из MO : OF = 1 : 3 следует MF = 4 части, поэтому OF : MF = 3 : 4. По подобию FE : FP = OF : MF = 3 : 4.

Пусть PF = FN = 4 части. Тогда FE = 3 части, а PE = PF − FE = 1 часть. Следовательно, EN = EF + FN = 3 + 4 = 7 частей.

Ответ: PE : EN = 1 : 7.