В треугольнике MNP точка K лежит на стороне MN, причём угол NKP острый. Докажите, что KP < MP.

Для доказательства неравенства KP < MP, рассмотрим треугольник NKP.

По условию, угол NKP острый, то есть меньше 90 градусов.

Обозначим угол NKP как α, где α < 90°.

Тогда угол MKP является смежным с углом NKP, и следовательно, равен 180° - α.

Так как α < 90°, то 180° - α > 90°. Значит, угол MKP тупой.

Рассмотрим треугольник MKP. В этом треугольнике угол MKP тупой, а значит, он является наибольшим углом в этом треугольнике.

Против большего угла в треугольнике лежит большая сторона. Следовательно, сторона MP, лежащая против угла MKP, больше стороны KP, лежащей против угла KMP.

Таким образом, MP > KP, или, что эквивалентно, KP < MP.

Что и требовалось доказать.