В треугольнике МРК на стороне МР отмечена точка D, такая, что МК = KD = DP. Отрезок DF — медиана треугольника KDP. Найдите угол РМК если ∠FDP = 53°.

Рассмотрим решение задачи по геометрии.

1. Так как DF - медиана треугольника KDP и МК = KD = DP, то треугольник KDP - равнобедренный, KD = DP, следовательно, углы при основании равны: ∠DKP = ∠DPK. Обозначим эти углы за α.

2. Так как DF - медиана, то KF = FP. Рассмотрим треугольник DFP. Так как DF - медиана и KF = FP, то DF является высотой и биссектрисой в треугольнике KDP.

3. Угол ∠KDP = 180° - 2α. Поскольку DF - биссектриса, то ∠FDP = (180° - 2α)/2 = 90° - α.

4. По условию ∠FDP = 53°, следовательно, 90° - α = 53°, отсюда α = 90° - 53° = 37°.

5. Рассмотрим треугольник МКD. МК = KD, то треугольник равнобедренный, значит, углы при основании равны. ∠DMK = ∠MDK. Обозначим эти углы за β.

6. Угол ∠MKD = 180° - 2β.

7. Сумма углов ∠MKD и ∠DKP равна углу ∠MKP: ∠MKD + ∠DKP = ∠MKP.

8. Тогда ∠MKP = 180° - 2β + 37°.

9. Рассмотрим треугольник MPK. MK = KD = DP, следовательно, MP = 2 * MK. Так как треугольник MPK равнобедренный (MK = KP), углы при основании равны: ∠KMP = ∠KPM = β. ∠MPK = ∠KPM = 37°.

10. Сумма углов в треугольнике равна 180°: ∠MPK + ∠MKP + ∠KMP = 180°.

11. Подставим известные значения: 37° + (180° - 2β + 37°) + β = 180°.

12. Раскроем скобки и упростим: 37° + 180° - 2β + 37° + β = 180°.

13. Приведем подобные слагаемые: 254° - β = 180°.

14. Выразим β: β = 254° - 180° = 74°.

15. Следовательно, ∠PMK = β = 74°.

Ответ: 74